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    如图所示，有一光滑轨道ABC，AB为竖直平面内半径为R的四分之一圆弧轨道，BC部分为足够长的水平轨道．一个质量为m1的小物体自A处由静止释放，m1沿圆弧轨道AB滑下，与在水平轨道BC上质量为m2的静止的物体相碰．
    （1）如果m2与水平轻弹簧相连，弹簧的另一端连在固定装置P上．m1滑到水平轨道后与m2发生碰撞但不粘连，碰撞后m1与m2一起将弹簧压缩后被弹回，m1与m2重新分开．若弹簧压缩和伸长过程中无机械能损失，且m1=m2，求m1反弹后能达到的最大高度；
    （2）如果去掉与m2相连的弹簧及固定装置P，m1仍从A处由静止释放．
    a．若m1=m2，且m1与m2的碰撞过程中无机械能损失，求碰撞后m1能达到的最大高度．
    b．若m1与m2的碰撞过程中无机械能损失，要使m1与m2只能发生两次碰撞，求 m2与 m1的比值范围．

    【答案】分析：（1）m1从A滑到B机械能守恒，和m2发生碰撞时动量守恒，据此可求出碰撞时的共同速度，当弹簧恢复到自然长度时m1与m2重新分开，此时m1与m2的速度与此共同速度相等，然后根据机械能守恒即可求出m1能达到的最大高度．
    （2）a．m1与m2发生碰撞时动量守恒同时机械能守恒，据此求出m1碰后速度，然后根据机械能守恒即可求出m1能达到的最大高度．
    b．根据m1与m2发生碰撞时动量守恒、机械能守恒求出他们的碰后速度，注意第一次碰后m1的速度大于m2的速度，第二次m1的速度小于m2的速度，据此可正确解答．
    解答：解：（1）m1从A滑到B重力势能转化为动能，m1的速度达到v1
                      ①
    m1与m2发生碰撞时弹簧处于自然状态，系统动量守恒，碰撞后以共同速度v共向右运动．
    m1v1+m2v2=（m1+m2）v共 ②
    联立①②解得：         
    m1与m2一起将弹簧压缩后又被弹回，当弹簧恢复到自然长度时m1与m2重新分开，此时m1与m2的速度都为v共，m1以v共为初速度滑上圆弧轨道，设m1能达到的最大高度是h

    解得   
    故m1反弹后能达到的最大高度为：．
    （2）撤去弹簧及固定装置后．
    a．m1与m2发生碰撞时系统动量守恒，且没有机械能损失．设向右为正方向，有
              ③
              ④
    代入，联系③④可得：，负号表示m1向左运动
    此后m1冲上圆弧轨道，设m1能达到的最大高度是h′，有：

    将带入上式，可得：        
    故碰撞后m1能达到的最大高度为：．     
    b．m1滑到水平轨道以速度v1与静止的m2发生第一次碰撞，设向右为正方向，有
           
           
    解得：，
    要能发生第二次碰撞的条件是，即m1＜m2；且||＞，即|m1-m2|＞2m1，可得
    m2＞3m1 ⑤
    m1从圆弧轨道上滑下，以大小为||=的速度与速度为的m2发生第二次碰撞，有：

    =
    第二次碰后m1和 m2的速度
         ⑥
           ⑦
    不发生第三次碰撞的条件为：||≤
    则：-4m1（m2-m1）≤≤4m1（m2-m1）
    解不等式
    得：            ⑧
    解不等式：
    得    m2≥3m1  或m2≤-m1  ⑨（9）
    综合⑤、⑧、⑨，m1与m2只能发生两次碰撞的条件为：
    故要使m1与m2只能发生两次碰撞，m2与 m1的比值范围为：．
    点评：本题考查了动量和能量问题，有一定的难度，难点在于数学运算，因此平时训练中要注意数学知识在物理中的应用．
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    		2gR
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