如图所示.有一光滑轨道ABC.AB为竖直平面内半径为R的四分之一圆弧轨道.BC部分为足够长的水平轨道．一个质量为m1的小物体自A处由静止释放.m1沿圆弧轨道AB滑下.与在水平轨道BC上质量为m2的静止的物体相碰．(1)如果m2与水平轻弹簧相连.弹簧的另一端连在固定装置P上．m1滑到水平轨道后与m2发生碰撞但不粘连.碰撞后m1与m2一起将弹簧� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图所示，有一光滑轨道ABC，AB为竖直平面内半径为R的四分之一圆弧轨道，BC部分为足够长的水平轨道．一个质量为m₁的小物体自A处由静止释放，m₁沿圆弧轨道AB滑下，与在水平轨道BC上质量为m₂的静止的物体相碰．
（1）如果m₂与水平轻弹簧相连，弹簧的另一端连在固定装置P上．m₁滑到水平轨道后与m₂发生碰撞但不粘连，碰撞后m₁与m₂一起将弹簧压缩后被弹回，m₁与m₂重新分开．若弹簧压缩和伸长过程中无机械能损失，且m₁=m₂，求m₁反弹后能达到的最大高度；
（2）如果去掉与m₂相连的弹簧及固定装置P，m₁仍从A处由静止释放．
a．若m₁=

m₂，且m₁与m₂的碰撞过程中无机械能损失，求碰撞后m₁能达到的最大高度．
b．若m₁与m₂的碰撞过程中无机械能损失，要使m₁与m₂只能发生两次碰撞，求 m₂与 m₁的比值范围．

【答案】分析：（1）m₁从A滑到B机械能守恒，和m₂发生碰撞时动量守恒，据此可求出碰撞时的共同速度，当弹簧恢复到自然长度时m₁与m₂重新分开，此时m₁与m₂的速度与此共同速度相等，然后根据机械能守恒即可求出m₁能达到的最大高度．
（2）a．m₁与m₂发生碰撞时动量守恒同时机械能守恒，据此求出m₁碰后速度，然后根据机械能守恒即可求出m₁能达到的最大高度．
b．根据m₁与m₂发生碰撞时动量守恒、机械能守恒求出他们的碰后速度，注意第一次碰后m₁的速度大于m₂的速度，第二次m₁的速度小于m₂的速度，据此可正确解答．
解答：解：（1）m₁从A滑到B重力势能转化为动能，m₁的速度达到v₁

①
m₁与m₂发生碰撞时弹簧处于自然状态，系统动量守恒，碰撞后以共同速度v_共向右运动．
m₁v₁+m₂v₂=（m₁+m₂）v_共②
联立①②解得：

m₁与m₂一起将弹簧压缩后又被弹回，当弹簧恢复到自然长度时m₁与m₂重新分开，此时m₁与m₂的速度都为v_共，m₁以v_共为初速度滑上圆弧轨道，设m₁能达到的最大高度是h

解得

故m₁反弹后能达到的最大高度为：

．
（2）撤去弹簧及固定装置后．
a．m₁与m₂发生碰撞时系统动量守恒，且没有机械能损失．设向右为正方向，有

③

④
代入

，联系③④可得：

，负号表示m₁向左运动
此后m₁冲上圆弧轨道，设m₁能达到的最大高度是h^′，有：

将

带入上式，可得：

故碰撞后m₁能达到的最大高度为：

．
b．m₁滑到水平轨道以速度v₁与静止的m₂发生第一次碰撞，设向右为正方向，有

解得：

，

要能发生第二次碰撞的条件是

，即m₁＜m₂；且|

|＞

，即|m₁-m₂|＞2m₁，可得
m₂＞3m₁⑤
m₁从圆弧轨道上滑下，以大小为|

的速度与速度为

的m₂发生第二次碰撞，有：

第二次碰后m₁和 m₂的速度

⑥

⑦
不发生第三次碰撞的条件为：|

|≤

则：-4m₁（m₂-m₁）≤

≤4m₁（m₂-m₁）
解不等式

得：

⑧
解不等式：

得 m₂≥3m₁ 或m₂≤-m₁ ⑨（9）
综合⑤、⑧、⑨，m₁与m₂只能发生两次碰撞的条件为：

故要使m₁与m₂只能发生两次碰撞，m₂与 m₁的比值范围为：

．
点评：本题考查了动量和能量问题，有一定的难度，难点在于数学运算，因此平时训练中要注意数学知识在物理中的应用．

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成立

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