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如图所示，在倾角为θ的足够长的斜面上，有一质量为M的长木板．开始时，长木板上有一质量为m的小铁块（视为质点）以相对地面的初速度v₀从长木板的中点沿长木板向下滑动，同时长木板在沿斜面向上的拉力作用下始终做速度为v的匀速运动（已知v₀＞v），小铁块最终跟长木板一起向上做匀速运动．已知小铁块与木板、木板与斜面间的动摩擦因数均为μ（μ＞tanθ），试求：
（1）小铁块在长木板上滑动时的加速度大小和方向？
（2）长木板至少要有多长？
（3）小铁块从中点开始运动到最终匀速运动的过程中拉力做了多少功？

解：（1）小铁块在长木板上滑动时受到重力、木板的支持力和沿板向上的滑动摩擦力作用，设小铁块的加速度大小为a，对小铁块受力分析有（取沿斜面向上为正）：
μmgcosθ-mgsinθ=ma
得 a=g（μcosθ-sinθ）
因为μ＞tanθ，所以小铁块与木板有相对滑动时的加速度沿斜面向上．
（2）小铁块先沿斜面向下匀减速至速度为零再沿斜面向上匀加速，最终获得稳定速度v，设t后小铁块达到稳定速度，则
v-（-v₀）=at
得 t= $\text{[math]}$
设此段时间内小铁块的位移为s₁，木板的位移为s₂，有：
$\text{[math]}$ 方向沿斜面向下（式中v₀＞v）
s₂=vt　　　　　方向沿斜面向上
∵ $\text{[math]}$ s₁+s₂
∴L≥2（s₁+s₂）= $\text{[math]}$
（3）对木板M受力分析知拉力为恒力：F=μ（m+M）gcosθ+μmgcosθ+Mgsinθ
则由W=Fs₂=Fvt得：
W= $\text{[math]}$ （v₀+v）v= $\text{[math]}$
答：
（1）小铁块在长木板上滑动时的加速度大小是g（μcosθ-sinθ），方向沿斜面向上．
（2）长木板至少长 $\text{[math]}$ ．
（3）小铁块从中点开始运动到最终匀速运动的过程中拉力做功为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）小铁块在长木板上滑动时受到重力、木板的支持力和摩擦力作用，根据牛顿第二定律求解加速度．
（2）小铁块先沿斜面向下匀减速至速度为零再沿斜面向上匀加速，最终跟长木板一起向上做匀速运动．由于铁块变速运动过程的加速度一定，看成一种匀减速运动，取沿斜面向上方向为正方向，此过程的初速度为-v₀，末速度为v，由速度公式可求出时间．由位移公式分别此段时间内小铁块的位移s₁和木板的位移s₂，由几何关系得，长木板的长度应满足： $\text{[math]}$ s₁+s₂，即可求解长木板的最小的长度L．
（3）长木板始终沿斜面向上做匀速运动，由平衡条件求出拉力F，再求解其做功．
点评：本题是两个物体多个过程的问题，分析物体的运动过程是基础，把握临界条件是解题的关键．

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试求：
（1）小铁块在长木板上滑动时的加速度；
（2）长木板至少多长？
（3）在小铁块从木板中点运动到与木板速度相同的过程中拉力做了多少功？

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