科学家在地球轨道外侧发现了一颗绕太阳运行的小行星，经过观测该小行星每隔t时间与地球相遇一次，已知地球绕太阳公转半径是R，周期是T，设地球和小行星都是圆轨道，求小行星与地球的最近距离。

某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者，他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星，试问，春分那天（太阳光直射赤道）在日落12小时内有多长时间该观察者看不见此卫星？已知地球半径为R，地球表面处的重力加速度为g,地球自转周期为T，不考虑大气对光的折射。

两颗靠得较近的天体称为双星。宇宙中有某一对双星，质量分别为m₁、m₂，它们以两者连线上某点为圆心，各自做匀速圆周运动，已知两双星间距离为L，不考虑其他星球对它们的影响．求：两颗星体的轨道半径和运动的周期分别为多少?

某行星一昼夜运动时间T₀=8h，若用一弹簧秤去测量同一物体的重力，结果在行星赤道上比在两极处小9%，设想该行星的自转角速度加快到某一值时，在赤道上的物体将完全失重，则这时行星的自转周期为       h。

地球可视为球体，其自转周期为T。在它的两极处，用弹簧秤测得其物体重为P。在它的赤道上，用弹簧秤测得同一物体重为0.9P，则地球的平均密度是多少？

火箭内平台上放有测试仪器，火箭从地面起动后，以加速度g/2竖直向上做匀加速直线运动。升到某一高度时，测试仪器对平台的压力为起动前压力的17/18，已知地球半径为R，求此时火箭离地面的高度（g为地面附近的重力加速度）。

阅读下列材料，并结合该材料解题．

开普勒从1609年～1619年发表了著名的开普勒行星三定律：

第一定律：所有的行星分别在大小不同的椭圆轨道上绕太阳运动，太阳在这些椭圆的一个公共焦点上．

第二定律：太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积．

第三定律：所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值都相等．

实践证明，开普勒三定律也适用于人造地球卫星的运动．如果人造地球卫星沿半径为r的圆形轨道绕地球运动，当开动制动发动机后，卫星速度降低并转移到与地球相切的椭圆轨道上，如图所示．问在这之后卫星经过多长时间着陆。空气阻力不计，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，圆形轨道应为椭圆轨道的一种特殊形式．

宇宙飞船上的科研人员在探索某星球时，完成如下实验：①当飞船停留在距该星球一定的距离时，正对着该星球发出一个激光脉冲，经过时间t后收到反射回来的信号，并测得此时刻星球对观察者的眼睛所张视角为；②当飞船在该星球着陆后，科研人员在距星球表面h处以初速度水平抛出一个小球，并测出落点到抛出点的水平距离为S。已知万有引力恒量G，光速c，星球的自转影响以及大气对物体的阻力均不计。试根据以上信息，求：

（1）星球的半径R。

（2）星球的质量M。

一地球探测飞船在地球赤道上空绕地球做圆周运动，用摄像机拍摄地球表面图片．已知地球的密度为ρ，飞船的飞行周期为T（小于24h）．试求摄像机所能拍摄的总面积与地球表面积之比．（万有引力常量为G；球体体积公式为V = πr³，r为球半径；球冠面积公式为S = 2πrh，r为球半径，h为球冠高）

如图所示，某行星围绕太阳C沿椭圆轨道运行．它的近日点A离太阳的距离为a，行星经过近日点时的速率为vA，行星的远日点B离太阳的距离为b，求它经过远日点时速度的大小．