在勇气号火星探测器着陆的最后阶段，着陆器降到火星表面上，再经过多次弹跳才停下来．假设着陆器第一次落到火星表面弹起后，到达最高点时高度为h，速度方向是水平的，速度大小为v₀．求它第二次落到火星表面时速度的大小，不计火星大气阻力．已知火星的一个卫星的圆轨道的半径为r，周期为T，火星可视为半径为r的均匀球体．

设地球是一半径为R的均匀球体，其自转周期为T，同一物体在两极点时测得其重力为G₁，当在赤道时测得其重力为G₂，已知万有引力常量为G，试写出地球平均密度的表达式．

如图所示，在半径为R的铅球中挖出一个球形空穴，空穴与球相切，并通过铅球的球心，在未挖去空穴前铅球质量为M．求铅球对与铅球球心距离为d的质量为m的小球的万有引力是多大？

已知太阳光从太阳射到地球需要500 s，地球绕太阳的公转周期约为3.2×10⁷ s，地球的质量约为6×10²⁴ kg，求太阳对地球的引力为多大？(答案只需保留一位有效数字)

试运用开普勒第三定律和匀速圆周运动知识完成对行星与太阳间万有引力公式的推导．

已知太阳的质量为M，地球的质量为m₁，月球的质量为m₂，当发生日全食时，太阳、月亮、地球几乎在同一直线上，且月亮位于太阳与地球中间，如图所示，设月亮到太阳的距离为a，地球到月亮的距离为b，则太阳对地球的引力F₁和对月亮的吸引力F₂的大小之比为多少？

月球环绕地球运动的轨道半径约为地球半径的60倍，运行周期约为27天．应用开普勒定律计算：在赤道平面内离地多高时，人造地球卫星随地球一起转动，就像停留在天空中不动一样？(R_地＝6 400 km)

1970年4月24日我国发射了第一颗人造卫星，其近地点是h₁＝439 km高度，远地点h₂＝2384 km高度，求近地点与远地点行星运动速率之比v₁∶v₂(已知R_地＝6400 km，用h₁、h₂、R_地表示，不计算)．

地球到太阳的距离为水星到太阳距离的2.6倍，那么地球和水星绕太阳运转的线速度之比为多少？

如图所示，半圆轨道竖直放置，半径R＝0.4 m，其底部与水平轨道相接．一个质量为m＝0.2 kg的滑块放在水平轨道C处(轨道均光滑)，有一水平恒力F作用于滑块，使滑块向右运动，当滑块到达半圆轨道的最低点B时撤去F，滑块恰好到达圆的最高点A沿水平方向飞出，恰好落到滑块起始运动的位置C点，则B与C相距多少？所需恒力F是多少？(g＝10 m/s²)