冥王星离太阳的距离是地球离太阳距离的39.6倍，那么冥王星绕太阳的公转周期是多少？(冥王星和地球绕太阳公转的轨道可视为圆形轨道)

如图所示，在距一质量为M、半径为R、密度均匀的球体R远处有一质量为m的质点，此时，M对m的万有引力为₁，当从M中挖去一半径为R/2的球体时，剩下部分对m的万有引力为₂．则₁和₂的比是多少？

飞船沿半径为R的圆周绕地球运动，其周期为T，地球半径为R₀．如果飞船要返回地面，可在轨道上某点A处将速率降到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运行，椭圆与地球表面在B点相切(如图)，求飞船由A点到B点所需的时间．

如图所示，质量m＝1 kg的小球用细线拴住，线长L＝0.5 m，细线所受拉力达到F＝18 N时就会被拉断．当小球从图示位置释放后摆到悬点的正下方时，细线恰好被拉断．若此时小球距水平地面的高度h＝5 m，重力加速度g＝10 m/s²，求小球落地处到地面上P点的距离．(P点在悬点的正下方)

如图所示，在一根长为L的不计质量的细棒中点和末端各连一质量为m的小球，棒可以在竖直平面内绕固定点A转动，将棒拉至某位置后释放，末端C球摆到最低点时，棒C端受到的拉力刚好等于球重的2倍．求：

(1)C球通过最低点时，速度大小是多少？

(2)此时棒AB段受到的拉力是多大？

如图所示，将一根长L＝20 cm、劲度系数为k＝360 N/m的弹簧一端固定于O点，另一端连接一质量为m＝0.5 kg的小球．当小球以r/min的转速在光滑水平面上做匀速圆周运动时，弹簧的伸长量为多少？

如图所示，一光滑的半径为R的半圆形轨道放在水平面上，一个质量为m的小球以某一速度冲上轨道，当小球将要从轨道上沿飞出时，轨道对小球的压力恰为零，则小球落地点C距A点多远？(A、B在同一条竖直线上)

如果高速公路转弯处弯道圆半径R＝100 m，汽车轮胎与路面间的静摩擦因数μ_s＝0.23，若路面是水平的，问汽车转弯时不发生侧滑(离心现象)所许可的最大速率v_max为多大？

铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的，弯道处要求外轨比内轨高，其内、外轨高度差h的设计值不仅与r有关，还取决于火车在弯道上的行驶速率．下列表格是铁路设计人员技术手册中弯道半径r及与之对应的轨道的高度差h．

(1)根据表中数据，试导出h和r关系的表达式，并求出当r＝440 m时，h的设计值；

(2)铁路建成后，火车通过弯道时，为保证绝对安全，要求内外轨道均不向车轮施加侧向压力，又已知我国铁路内外轨的间距设计值为L＝1435 mm，结合表中数据，算出我国火车的转弯速率v；(以km/h为单位，结果取整数；路轨倾角很小时，正弦值按正切值处理)

(3)随着人们生活节奏的加快，对交通运输的快捷提出了更高的要求，为了提高运输力，国家对铁路不断进行提速，这就要求铁路转弯速率也随之提高．请根据上述计算原理和上述表格分析提速时应采取怎样的有效措施．

如图所示，质量为m的小球P与穿过光滑水平板中央小孔O的轻绳相连，用力拉着绳子另一端使P在水平板内绕O做半径为a、角速度为ω₁的匀速圆周运动．求：

(1)此时P的速率为多大？

(2)若将绳子从这个状态迅速放松，后又拉直使P绕O做半径为b的圆周运动，从放松到拉直这段过程经过了多长时间？

(3)P做半径为b的圆周运动的角速度ω₂为多大？