天文学家在地球轨道外侧发现了一颗绕太阳运行的小行星，经过观测该小行星每隔t时间与地球相遇一次．已知地球绕太阳公转半径是R，周期是T，设地球和小行星都是圆轨道，求小行星与地球的最近距离．

下表中给出了太阳系九大行星平均轨道半径和周期的数据，从表中任选三个行星验证开普勒第三定律，并计算常量k值．(要求写出单位)

月球环绕地球运动的轨道半径约为地球半径的60倍，运行周期约为27天．应用开普勒定律计算：在赤道平面内离地多高时，人造地球卫星随地球一起运动，就像停留在天空中不动一样？(R_地＝6 400 km)

海王星的公转周期约为5.19 ×10⁹ s，地球的公转周期为3.16×10⁷ s，则海王星与太阳的平均距离约为地球与太阳的平均距离的多少倍？

AB是竖直平面内的四分之一光滑圆弧轨道，在下端B与水平直轨道相切，如图所示．一小球自A点起由静止开始沿光滑轨道下滑．已知圆轨道半径为R，小球的质量为m，不计各处摩擦，求：

(1)小球运动到B点时的动能；

(2)小球下滑到距水平轨道的高度为R时速度的大小和方向；

(3)小球经过圆弧轨道的B点和水平轨道的C点时，所受轨道支持力N_B、N_C各是多大？

A、B两小球同时从距地面高为h＝15 m处的同一点抛出，初速度大小均为v₀＝10 m/s．A竖直向下抛出，B球水平抛出，空气阻力不计，重力加速度取g＝10 m/s²．求：

(1)A球经过多长时间落地？

(2)A球落地时，A、B两球间的距离是多少？

(经典回放)在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v₁，摩托艇在静水中的航速为v₂，战士救人的地点A离岸边最近处O的距离为d．如战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离O点的距离为多少？

有一种叫做“魔盘”的娱乐设施，“魔盘”转动时，盘上的人都可以随盘一起转动，而不至于被甩开．当盘的转速逐渐增大时，盘上的人便逐渐向边缘滑去，离转动中心越远的人，这种滑动的趋势越厉害．设“魔盘”的转速为6 r/min，一个体重为30 kg的小孩坐在距轴心1 m处(盘半径大于1 m)随盘一起转动(没有滑动)，这个小孩受到的向心力有多大？这个向心力是什么力提供的？

绳系着装有水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，水的质量m＝0.5 kg，绳长l＝60 cm．求：

(1)最高点水不流出的最小速率；

(2)水在最高点速率v＝3 m/s时，水对桶底的压力的大小．

如图所示，过山车质量为m，沿光滑的轨道由静止滑下，与光滑轨道相接触的圆形轨道半径为R．要使过山车能顺利通过光滑轨道的最高点，过山车应从离轨道最低点多高的地方开始下滑？