已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，不考虑地球自转的影响．

(1)推导第一宇宙速度v₁的表达式；

(2)若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h，求卫星的运行周期T．

π介子与质子相碰可产生其他粒子．其中有一种k⁰粒子，它经d＝1×10^－1 m的距离便衰变成两个具有相反电荷的π介子．若k⁰的速率为v＝2.24×10⁸ m/s，试求其固有寿命．

如图所示，斜面的倾角为，质量为m的滑块距挡板P的距离为s₀，滑块以初速度v₀沿斜面上滑，滑块与斜面间的动摩擦因数为μ，滑块所受摩擦力小于重力沿斜面向下的分力．若滑块每次与挡板相碰均无机械能损失，求滑块经过的总路程．

(1)m₁速度达最大值时弹簧伸长的长度；

(2)m₁的最大速度值．

在跳水比赛中，有一个单项是“3 m跳板”，其比赛过程可简化为：运动员走上跳板，跳板被压缩到最低点，跳板又将运动员竖直向上弹到最高点，运动员做自由落体运动，竖直落入水中．将运动员视为质点，运动员质量m＝60 kg，g＝10 m/s²，最高点A、跳板的水平点B、最低点C和水面之间的竖直距离如图所示．求：

(1)跳板被压缩到最低点C时具有的弹性势能多大？

(2)运动员入水前速度大小？(可以用根号表示结果)

电动车所需能量由它所携带的蓄电池供给．如图所示为某类电动车与汽油车性能的比较．通常车用电动机的质量是汽油机的4倍或5倍．为促进电动车的推广使用，在技术上主要应对电动车的________部件加以改进．给电动车蓄电池充电的能量实际上来自于发电站，一般发电站燃烧燃料所释放出来的能量仅30％转化为电能，在向用户输送及充电过程中又损失了20％，这意味着使用电动车时能量转化的总效率约为多少？

在质量为0.5 kg的重物上安装一极轻的细棒，(设细棒足够长)如图所示，用手在靠近重物处握住细棒，使重物静止，握细棒的手不动，稍稍减小握力，使手和细棒间保持一定的摩擦力，让重物和细棒保持一定的加速度下落，在起初的1.0 s的时间里，重物落下了0.50 m，在此过程中手和细棒之间所产生的热量占势能变化量的百分比是多少？

如果每人年节约用电1千瓦时，那么，全国13亿人口节约用电相当于多少吨标准煤燃烧释放的能量？(标准煤热值为2.93×10⁷ J/kg)

质量为50 kg的男孩在距离河面40 m高的桥上做“蹦极跳”，未拉伸前，长度为15 m的弹性绳AB一端缚着他的双脚，另一端则固定在桥上的A点，如图甲所示，男孩从桥面下坠，达到的最低点为水面上的一点D，假定绳在整个运动中遵循胡克定律．不计空气阻力、男孩的身高和绳的重力(g取10 m/s²)．男孩的速率v跟下坠的距离s的变化关系如图乙所示，男孩在C点时的速度最大．

试探究如下几个问题：

(1)当男孩在D点时，求绳所储存的弹性势能；

(2)绳的劲度系数是多少？

(3)就男孩在AB、BC、CD期间的运动，试讨论作用于男孩的力．

(思维拓展题)光滑的长轨道形状如图所示，底部为半圆形，半径为R，固定在竖直平面内．AB两质量相同的小环用长为R的轻杆连接在一起，套在轨道上．将AB两环从图示位置静止释放，A环离开底部2R．不考虑轻杆和轨道的接触，即忽略系统机械能的损失，求：

(1)AB两环都未进入半圆形前，杆上的作用力；

(2)A环到达最低点时，两环速度大小．

剑桥大学物理学家海伦·杰尔斯基研究了各种自行车特技的物理学原理，并通过计算机模拟技术探寻特技动作的极限，设计了一个令人惊叹不己的高难度动作——“爱因斯坦空翻”，并在伦敦科学博物馆由自行车特技运动员(18岁的布莱士)成功完成．现将“爱因斯坦空翻”模型简化，如图所示，质量为m的自行车运动员从B点由静止出发，经BC圆弧，从C点竖直冲出，完成空翻．完成空翻的时间为t，由B到C的过程中，克服摩擦力做功为W，空气阻力忽略不计，重力加速度为g．试求：自行车运动员从B到C至少做功多少？