自行车在半径为R的水平弯道上顺利通过，车与地面间动摩擦因数为μ，车速与车身的倾斜程度都受到摩擦因数的限制，自行车转弯时的最大速度v为多大？这时，车身的倾斜角应为多大？

如图所示，汽车质量为1.5×10⁴ kg，以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥面，桥面圆弧半径为15 m，如果桥面承受的最大压力不得超过2.0×10⁵ N，汽车允许的最大速率是多少？汽车以此速率驶过桥面的最小压力是多少？(取g＝10 m/s²)

2007年4月18日，全国铁路正式实施第六次大面积提速，火车时速可以达到200公里以上．其中京哈、京沪、京广、胶济等提速干线部分区段可达到时速250公里，这对铁路建设又提出新的要求．已知铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的．弯道处要求外轨比内轨高，其内外轨高度差h的没计不仅与r有关，还取决于火车在弯道上的行驶速率．下面表格中的数据是铁路设计人员技术手册中弯道半径r和与之对应的轨道的高度差h．

(1)根据表中数据，试导出h和r的关系式，并求出当r＝440 m时，h的设计值；

(2)铁路建成后，火车通过弯道时，为保证绝对安全，要求内外轨道均不向车轮施加侧向压力，又已知我国铁路内外轨的间距没计值为L＝1425 mm，结合表中数据，算出我国火车的转弯速率v(以km/h为单位，结果取整数，路轨倾角很小时，正切值按正弦值处理)．

(3)随着经济的发展和人们生活节奏的加快，对交通运输的快捷提出了更高的要求．为了提高运输力，国家不断对火车进行提速，这就要求铁路转弯处的建设也需要提高．请根据上述计算原理和表格中的数据，分析火车提速时，为保证安全，在弯道设计时应注意哪些事项？

如图所示，水平转盘的中心有个竖直的小圆筒，质量为m的物体A放在转盘上，A到竖直筒中心的距离为r．物体A通过轻绳跨过无摩擦的滑轮与物体B相连，B与A的质量相同．物体A与转盘问的最大静摩擦力是正压力的μ(μ＜1)倍，则转盘转动的角速度ω在什么范围内，物体A才能随盘转动．

有一水平放置的圆盘．上面放有一劲度系数为k的弹簧，如图所示，弹簧的一端固定于轴O上，另一端挂一质量为m的物体A，物体与盘面间的动摩擦因数为μ，开始时弹簧未发生形变，长度为R，求：

(1)盘的转速n₀为多大时，物体A开始滑动？

(2)当转速达到2n₀时，弹簧的伸长量Δx是多少？

如图所示，半径为R的球壳，内壁光滑，当球壳绕竖直方向的中心轴转动时，一个小物体恰好相对静止在球壳内的P点，OP连线与竖直轴夹角为．试问：球壳转动的周期多大？

如图所示，为一自行车的局部结构示意图，设连接脚踏板的杆长为L₁，由脚踏板带动半径为r₁的大轮盘(牙盘)，通过链条与半径为r₂的小轮盘(飞轮)连接，小轮盘带动半径为R的后轮转动，使自行车在水平路面上匀速前进．

(1)自行车牙盘的半径一般要大于飞轮的半径，想想看，这是为什么？

(2)设L₁＝18 cm，r₁＝12 cm，r₂＝6 cm，R＝30 cm，为了维持自行车以v＝3 m/s的速度在水平路面上匀速行驶，请你计算一下每分钟要踩踏板几圈．

(3)若某种变速自行车有6个飞轮和3个牙盘，牙盘和飞轮的齿数如下表所示，如果人骑该车行进的速度一定，选用哪种齿数的牙盘和飞轮，人踩脚踏板的角速度最小？为什么？

某兴趣小组设计了如图所示的玩具轨道，其中“2008”四个等高数字用内壁光滑的薄壁细圆管弯成，固定在竖直平面内(所有数字均由圆或半圆组成，圆半径比细管的内径大得多)，底端与水平地面相切．弹射装置将一个小物体(可视为质点)以v₀＝5 m/s的水平初速度由a点弹出，从b点进入轨道，依次经过“8002”后从p点水平抛出小物体与地面ab段间的动摩擦因数μ＝0.3，不计其他机械能损失．已知ab段长L＝1.5 m，数字“0”的半径R＝0.2 m，小物体质量m＝0.01 kg，g＝10 m/s²．求：

(1)小物体从p点抛出后的水平射程．

(2)小物体经过数字“0”的最高点时管道对小物体作用力的大小和方向．

如图所示，在游乐园的一个转轴上，有一个质量为m＝1 kg，半径为r＝0.1 m的匀质球，用长为L＝2 m的细线系住．求下列情况下，细线受到的拉力．(g取10 m/s²)

(1)转盘以角速度ω＝2rad/s匀速转动；

(2)转盘以角速度ω＝5rad/s匀速转动．

如图所示，质量是1 kg的小球用长为0.5 m的细线悬挂在O点，O点距地面高度为1 m，如果使小球绕轴在水平面内做圆周运动，且细线最大能承受的拉力为12.5 N，求：

(1)当小球的角速度为多大时，线将断裂．

(2)断裂后小球落地点与悬点的水平距离．(g取10 m/s²)