如图(甲)所示，两光滑导轨都由水平、倾斜两部分圆滑对接而成，相互平行放置，两导轨相距L＝lm，倾斜导轨与水平面成＝30°角，倾斜导轨的下面部分处在一垂直斜面的匀强磁场区I中，I区中磁场的磁感应强度B₁随时间变化的规律如图(乙)所示，图中t₁、t₂未知．水平导轨足够长，其左端接有理想的灵敏电流计G和定值电阻R＝3 Ω，水平导轨处在一竖直向上的匀强磁场区Ⅱ中，Ⅱ区中的磁场恒定不变，磁感应强度大小为B₂＝1 T，在t＝0时刻，从斜轨上磁场I区外某处垂直于导轨水平释放一金属棒ab，棒的质量m＝0.1 kg，电阻r＝2 Ω，棒下滑时与导轨保持良好接触，棒由斜轨滑向水平轨时无机械能损失，导轨的电阻不计．若棒在斜面上向下滑动的整个过程中，灵敏电流计G的示数大小保持不变，t₂时刻进入水平轨道，立刻对棒施一平行于框架平面沿水平方向且与杆垂直的外力．(g取10 m/s²)求∶

(1)磁场区I在沿斜轨方向上的宽度d；

(2)棒从开始运动到刚好进入水平轨道这段时间内ab棒上产生的热量；

(3)若棒在t₂时刻进入水平导轨后，电流计G的电流大小I随时间t变化的关系如图(丙)所示(I₀未知)，已知t₂到t₃的时间为0.5 s，t₃到t₄的时间为1 s，请在图(丁)中作出t₂到t₄时间内外力大小F随时间t变化的函数图像．

相距L＝1.5 m的足够长金属导轨竖直放置，质量m₁＝1 kg的金属棒ab和质量m₂＝0.27 kg的金属棒cd，均通过棒两端的套环水平地套在金属导轨上，如图1所示，虚线上方磁场的方向垂直纸面向里，虚线下方磁场的方向竖直向下，两处磁场磁感应强度大小相同．ab棒光滑，cd棒与导轨间动摩擦因数μ＝0.75，两棒总电阻为1.8 Ω，导轨电阻不计．ab棒在方向竖直向上、大小按图2所示规律变化的外力F作用下，从静止开始沿导轨匀加速运动，同时cd棒也由静止释放．(g＝10 m/s²)

(1)求ab棒加速度的大小和磁感应强度B的大小；

(2)已知在2 s内外力F做了26.8 J的功，求这一过程中两金属棒产生的总焦耳热；

(3)求出cd棒达到最大速度所需的时间t₀，并在图3中定性画出cd棒所受摩擦力f_cd随时间变化的图线．

如图所示，两电阻不计的足够长光滑平行金属导轨与水平面夹角，导轨间距l，所在平面的正方形区域abcd内存在有界匀强磁场，磁感应强度为B＝0.2 T，方向垂直斜面向上．将甲乙两电阻阻值相同、质量均为m＝0.02 kg的相同金属杆如图放置在导轨上，甲金属杆处在磁场的上边界，甲乙相距也为l，其中l＝0.4 m．静止释放两金属杆的同时，在甲金属杆上施加一个沿着导轨的外力F，使甲金属杆在运动过程中始终做沿导轨向下的匀加速直线运动，加速度大小5 m/s²．(取g＝10 m/s²)

(1)乙金属杆刚进入磁场时，发现乙金属杆作匀速运动，则甲乙的电阻R为多少？

(2)以刚释放时t＝0，写出从开始到甲金属杆离开磁场，外力F随时间t的变化关系，并说明F的方向．

(3)乙金属杆在磁场中运动时，乙金属杆中的电功率多少？

(4)若从开始释放到乙金属杆离开磁场，乙金属杆中共产生热量J，试求此过程中外力F对甲做的功．

如图所示，用两根金属丝弯成一光滑半圆形轨道，竖直固定在地面上，其圆心为O、半径为0.3 m．轨道正上方离地0.4 m处固定一水平长直光滑杆，杆与轨道在同一竖直平面内，杆上P点处固定一定滑轮，P点位于O点正上方．A、B是质量均为2 kg的小环，A套在杆上，B套在轨道上，一条不可伸长的细绳绕过定滑轮连接两环．两环均可看作质点，且不计滑轮大小与质量．现在A环上施加一个大小为55 N的水平向右恒力F，使B环从地面由静止沿轨道上升．(g取10 m/s²)，求：

(1)在B环上升到最高点D的过程中恒力F做功为多少？

(2)当被拉到最高点D时，B环的速度大小为多少？

(3)当B、P间细绳恰与圆形轨道相切时，B环的速度大小为多少？

(4)若恒力F作用足够长的时间，请描述B环经过D点之后的运动情况．

如图所示，质量为M\倾角为α的斜面体(斜面光滑且足够长)放在粗糙的水平地面上，底部与地面的动摩擦因数为μ，斜面顶端与劲度系数为k、自然长度为l的轻质弹簧相连，弹簧的另一端连接着质量为m的物块．压缩弹簧使其长度为时将物块由静止开始释放，且物块在以后的运动中，斜面体始终处于静止状态．重力加速度为g．

(1)求物块处于平衡位置时弹簧的长度；

(2)选物块的平衡位置为坐标原点，沿斜面向下为正方向建立坐标轴，用x表示物块相对于平衡位置的位移，证明物块做简谐运动；

(3)求弹簧的最大伸长量；

(4)为使斜面始终处于静止状态，动摩擦因数μ应满足什么条件(假设滑动摩擦力等于最大静摩擦力)？

随着摩天大楼高度的增加，钢索电梯的制造难度越来越大．利用直流电机模式获得电磁驱动力的磁动力电梯研发成功．磁动力电梯的轿厢上安装了永久磁铁，电梯的井壁上铺设了电线圈．这些线圈采取了分段式相继通电，生成一个移动的磁场，从而带动电梯上升或者下降．工作原理可简化为如下情景．

如图所示，竖直平面内有两根很长的平行竖直轨道，轨道间有垂直轨道平面、方向相反的匀强磁场，磁感应强度均为B；电梯轿厢固定在如图所示的一个N匝金属框abcd内(电梯轿厢在图中未画出)，并且与之绝缘，金属框cd的边长为L，两磁场的竖直宽度与金属框ac边的长度相同且均为d，金属框整个回路的总电阻为R；电梯所受阻力大小恒为f；电梯空载时的总质量为m₀．已知重力加速度为g．

(1)两磁场以速度v₀竖直向上做匀速运动，电梯在图示位置由静止启动的瞬间，金属线框内感应电流的大小和方向；

(2)两磁场以速度v₀竖直向上做匀速运动，来启动处于静止状态的电梯，运载乘客的总质量应满足什么条件；

(3)两磁场以速度v₀竖直向上做匀速运动，启动处于静止状态下空载的电梯，最后电梯以某一速度做匀速运动，求在电梯匀速运动的过程中，外界在单位时间内提供的总能量．

随着越来越高的摩天大楼在各地的落成，至今普遍使用的钢索悬挂式电梯已经渐渐地不适用了．这是因为钢索的长度随着楼层的增高而相应增加，这样这些钢索会由于承受不了自身的重量，还没有挂电梯就会被扯断．为此，科学技术人员正在研究用磁动力来解决这个问题．如图所示就是一种磁动力电梯的模拟机，即在竖直平面上有两根很长的平行竖直轨道，轨道间有垂直轨道平面的匀强磁场B₁和B₂，且B₁和B₂的方向相反，大小相等，即B₁＝B₂＝1 T，两磁场始终竖直向上作匀速运动．电梯桥厢固定在如图所示的一个阁超导材料制成的金属框abcd内(电梯桥厢在图中未画出)，并且与之绝缘．电梯载人时的总质量为5×10³ kg，所受阻力f＝500 N，金属框垂直轨道的边长L_cd＝2 m，两磁场的宽度均与金属框的边长L_ac相同，金属框整个回路的电阻R＝9.5×10^－4 Ω，假如设计要求电梯以v₁＝10 m/s的速度向上匀速运动，那么，(取g＝10 m/s²)

(1)磁场向上运动速度v₀应该为多大？(结果保留两位有效数字)

(2)在电梯向上作匀速运动时，为维持它的运动，外界必须提供能量，那么此时系统的效率为多少？(结果保留三位有效数字)

在xoy平面直角坐标系的第Ⅰ象限有射线OA，OA与x轴正方向夹角为30°，如图所示，OA与y轴所夹区域存在y轴负方向的匀强电场，其它区域存在垂直坐标平面向外的匀强磁场；有一带正电粒子质量m，电量q，从y轴上的P点沿着x轴正方向以v₀的初速度射入电场，运动一段时间沿垂直于OA方向经过Q点进入磁场，经磁场偏转，过y轴正半轴上的M点再次垂直进入匀强电场．已知OP＝h，不计粒子的重力．

(1)求粒子垂直射线OA经过Q点的速度v_Q；

(2)求匀强电场的电场强度E与匀强磁场的磁感应强度B的比值；

(3)粒子从M点垂直进入电场后，如果适当改变电场强度，可以使粒子再次垂直OA进入磁场，再适当改变磁场的强弱，可以使粒子再次从y轴正方向上某点垂直进入电场；如此不断改变电场和磁场，会使粒子每次都能从y轴正方向上某点垂直进入电场，再垂直OA方向进入磁场……求粒子从P点开始经多长时间能够运动到O点？

图(a)所示，在垂直于匀强磁场B的平面内，半径为r的金属圆盘绕过圆心O的轴承转动，圆心O和边缘K通过电刷与一个电路连接．电路中的P是加上一定正向电压才能导通的电子元件．流过电流表的电流I与圆盘角速度ω的关系如图(b)所示，其中ab段和bc段均为直线，且ab段过坐标原点．ω＞0代表圆盘逆时针转动．已知：R＝3.0 Ω，B＝1.0 T，r＝0.2 m．忽略圆盘，电流表和导线的电阻．

(1)根据图(b)写出ab、bc段对应的I与ω的关系式；

(2)求出图(b)中b、c两点对应的P两端的电压U_b、U_c；

(3)分别求出ab、bc段流过P的电流I_P与其两端电压U_P的关系式．

在科学研究中，可以通过施加适当的电场和磁场来实现对带电粒子运动的控制．如图(1)所示的xOy平面处于匀强电场和匀强磁场中，电场强度E和磁感应强度B随时间t作周期性变化的图象如图(2)所示．x轴正方向为E的正方向，垂直纸面向里为B的正方向．在坐标原点O有一粒子P，其质量和电荷量分别为m和＋q．不计重力．在t＝时刻释放P，它恰能沿一定轨道做往复运动．

(1)求P在磁场中运动时速度的大小v₀；

(2)求B₀应满足的关系；

(3)在t₀(0＜t0＜)时刻释放P，求P速度为零时的坐标．