福建省2009年高考二轮热点专题

函数与导数

1.设函数的图象关于原点对称，的图象在点处的切线的斜率为，且当时有极值．(Ⅰ)求的值；  (Ⅱ)求的所有极值．

析：主要考察函数的图象与性质，导数的应用．

解：(Ⅰ)由函数的图象关于原点对称，得，

∴，∴．∴，

∴．∴，即．∴．

 (Ⅱ)由(Ⅰ)知，∴．

由 ，∴．

0

+

0

ㄋ

极小

ㄊ

极大

ㄋ

∴．

2.已知函数在是增函数,在(0,1)为减函数.

（I）求、的表达式；（II）求证:当时,方程有唯一解；

(III）当时,若在∈内恒成立,求的取值范围.

解:（I）依题意,即,.∵上式恒成立,∴  ①

又,依题意,即,.∵上式恒成立,∴②   由①②得.∴ 

（II）由(1)可知,方程,

设,

令,并由得解知

令由    列表分析:

(0,1)

1

(1,+¥)

-

0

+

递减

0

递增

知在处有一个最小值0, 当时,＞0,∴在(0,+¥)上只有一个解.

即当x＞0时,方程有唯一解.

（III）设,

在为减函数 又 所以：为所求范围.

3.已知函数（为实数）.

（I）若在处有极值，求的值；（II）若在上是增函数，求的取值范围.

解：（I）由已知得的定义域为   又       

由题意得          

（II）依题意得    对恒成立，

           的最大值为

    的最小值为       又因时符合题意    为所求

4.已知抛物线与直线相切于点．（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．

解：（Ⅰ）依题意有，．因此的解析式为；

（Ⅱ）由（）得（），解之得

（）由此可得且，

所以实数的取值范围是．

5.已知函数，其中．

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）当时，求函数的单调区间与极值．

解:  （Ⅰ）解：当时，，，又，则．所以，曲线在点处的切线方程为，

即．

（Ⅱ）解：．

由于，以下分两种情况讨论．

（1）当时，令，得到，,

当变化时，的变化情况如下表：

0

0

极小值

极大值

所以在区间,内为减函数，在区间内为增函数

故函数在点处取得极小值，且，

函数在点处取得极大值，且．

（2）当时，令，得到，

当变化时，的变化情况如下表：

0

0

极大值

极小值

所以在区间,内为增函数，在区间内为减函数．

函数在处取得极大值，且．

函数在处取得极小值，且．

6．已知，，.

（1）求过点的切线方程；（2）当a=1时，求的单调递减区间；

（3）是否存在实数a，使的极大值为3？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由.

解：（1）切线的斜率为，  ∴ 切线方程为.

（2）当.

∴的单调递减区间为：，.

（3），

令.

列表如下：

x

(－∞，0)

0

（0，2－a）

2－a

(2－a，+ ∞)

－

0

+

0

－

ㄋ

极小

ㄊ

极大

ㄋ

由表可知，.  

设，∴上是增函数，

 ∴ ，即，∴不存在实数a，使极大值为3.

7．已知函数（为自然对数的底数）．求函数的最小值；

（本小题主要考查函数的导数、最值、等比数列等基础知识，考查分析问题和解决问题的能力、以及创新意识）

解：∵，令，得．

∴当时，，当时，．

∴函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．

∴当时，有最小值1．

8．设函数（1）求函数的极大值；

（2）若时，恒有成立（其中是函数的导函数），试确定实数a的取值范围．

解：（1）∵，且，当时，得；当时，得；∴的单调递增区间为；的单调递减区间为和．故当时，有极大值，其极大值为．

（2）∵，

当时，，∴在区间内是单调递减．

∴．∵，

∴此时，．当时，．

∵，∴即

此时，．综上可知，实数的取值范围为．

9.设函数的图像与直线相切于点.

（Ⅰ）求的值；         （Ⅱ）讨论函数的单调性。

【解析】（Ⅰ）求导得,

由于的图像与直线相切于点,所以

即,解得

（Ⅱ）由得：

令，解得或；由，解得.

故函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.

10．若函数，当时，函数有极值，

（1）求函数的解析式；（2）若函数有3个解，求实数的取值范围．

解：   

（1）由题意 解得 &n