1．复数的虚部为

A．-2                          B．2                            C．-2i                         D．2i

2．下列各选项中，与sin2008º最接近的是

A．                       B．                          C．                       D．

3．对平面α和异面直线l₁，l₂，下面四个命题中正确的是

A．若l₁α，则l₂与α相交

B．若l₁α，则l₂一定不垂直于α

C．若l₁⊥l₂，且l₁与α成45º的角，则l₂与α所成的最大角是45º

D．若直线l₁'，l₂'分别是l₁，l₂在α内的射影，则l₁'，l₂'是相交直线

4．已知a，b是非零向量，且，则向量的模为

A．                       B．                        C．2                      D．3

5．设实数a，b满足a<b，a+b<0，ab>0，则下列不等式一定成立的是

A．                   B．                C．              D．

6．若对于任意实数x，有x³=a₀+a₁(3-x)+a₂(3-x)²+a₃(3-x)³，则a₀+a₂=

A．4                           B．10                          C．18                          D．36

7．已知：集合，集合H={(x，y)|x²+y²=2}，“命题：(x，y)∈G”是“命题：(x，y)∈H”的必要而不充分条件，则u的取值范围是

A．u≤-2                    B．u≤2                      C．u≤-                D．u≤

8．已知lga<0，则函数的图象是

A．                         B．                       C．                          D．

9．直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是∠BAC=90º的等腰三角形，AB=AA₁=2，M是CC₁的中点，设三棱柱的外接球球心为O，则点O到面A₁B₁M的距离等于

A．                       B．                       C．                            D．

10．设F₁，F₂分别是椭圆（a>b>0）的左、右焦点，与直线y=b相切的⊙F₂交椭圆于点E，E恰好是直线EF₁与⊙F₂的切点，则椭圆的离心率为

A．                       B．                       C．                       D．

11．定义f (M)=(m，n，p)，其中M是△ABC内一点，m、n、p分别是△MBC、△MCA、△MAB的面积．已知△ABC中，，∠BAC=30º，f (N)=(，x，y)，则的最小值是

A．8                           B．9                            C．16                          D．18

12．若，n∈N*，且a₁、a₂、…、a_n∈{0，4}，则λ一定不属于

A．                    B．                    C．                D．

绵阳市高中2008级第三次诊断性考试

数  学（理工类）

第Ⅱ卷（共90分）

注意事项：

1．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷中．

2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．

题号

二

三

总分

总分人

总 分

复查人

17

18

19

20

21

22

分数

得分

评卷人

13．函数（a>0）在x=-2处不连续，且存在，则a+b=__________．

14．今年“3?15”，某报社做了一次关于“手机垃圾短信”的调查，在A、B、C、D四个单位回收的问卷数依次成等差数列，共回收1000份．因报道需要，再从回收的问卷中按单位分层抽取容量为150的样本．若在B单位抽30份，则在D单位抽取的问卷是_________份．

15．锐角△ABC中，A≥B，且tanA=3tanB，则A-B的最大值为__________．

16．已知α∈R，且α≠，k∈Z，设直线l：y= x tanα+m，其中m≠0．给出下列结论：

①l的倾斜角为arctan(tanα)；

②l的方向向量与向量a=(cosα，sinα)共线；

③l与直线xsinα-ycosα+n=0（n≠m）一定平行；

④若0<α<，则l与直线y=x的夹角为-α；

⑤若α≠kπ+，k∈Z，与l关于y=x对称的直线l'与l互相垂直．

其中，真命题的编号是__________．（写出所有真命题的编号）

得分

评卷人

17．（本题满分12分）

若函数sin²x- sinxcosx (>0)的图象与直线y=m相切，并且相邻两个切点的距离为．

（1）求，m的值：

（2）若将的图象向右平移个单位后，所得的图象C对应的函数g(x)恰好是偶函数，求最小正数，并求g(x)的单调递增区间．

得分

评卷人

18．（本题满分12分）

如图，直二面角P-AD-C中，四边形ABCD是∠BAD=120º的菱形，AB=2，PA⊥AD，E是CD的中点，设PC与平面ABCD所成的角为45º．

（1）求证：平面PAE平面PCD；

（2）试问在线段AB（不包括端点）上是否存在一点F，使得二面角A-PF-D的大小为45º？若存在，请求出AF的长，若不存在，请说明理由．

得分

评卷人

19．（本题满分12分）

某社区举办北京奥运知识宣传活动，现场的“抽卡有奖游戏”特别引人注目．游戏规则是：盒子中装有8张形状大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“奥运福娃”或“奥运会徽”．要求4人一组参加游戏，参加游戏的4人从盒子中轮流抽取卡片，一次抽2张，抽取后不放回，直到4人中的一人一次抽到2张“奥运福娃”卡才能得奖并终止游戏．

（1）游戏开始之前，一位高中生问：盒子中有几张“奥运会徽”卡？主持人说：若从盒中任抽2张卡片不都是“奥运会徽”卡的概率为．请你回答有几张“奥运会徽”卡呢？

（2）现有甲、乙、丙、丁4人参加游戏，约定甲、乙、丙、丁依次抽取．用ξ表示4人中的某人获奖终止游戏时总共抽取卡片的次数，求ξ的概率分布及ξ的数学期望．

得分

评卷人

20．（本题满分12分）

下表给出的是由n×n（n≥3，n∈N*）个正数排成的n行n列数表，a_ij表示第i行第j列的一个数．表中第一列的数从上到下依次成等差数列，其公差为d．表中各行，每一行的数从左到右依次都成等比数列，且所有公比相等，公比为q，已知a₁₃=，a₂₃=，a₃₂=1．

a₁₁

a₁₂

a₁₃

…

a_1n

a₂₁

a₂₂

a₂₃

…

a_2n

a₃₁

a₃₂

a₃₃

…

a_3n

…

…

…

…

…

a_n1

a_n2

a_n3

…

a_nn

（1）求a₁₁，d，q的值；

（2）设表中对角线上的数a₁₁，a₂₂，a₃₃，…，a_nn组成的数列为{a_nn}，记T_n=a₁₁+a₂₂+a₃₃+…+a_nn，求使不等式2ⁿT_n<4ⁿ-n-43成立的最小正整数n．

得分

评卷人

21．（本题满分12分）

O为坐标原点，A(x_A，y_A)和B(x_B，y_B)两点分别在射线x+y=0(x≤0)，x-y=0(x≥0)上移动，且，动点P满足．记点P的轨迹为C．

（1）求的值；

（2）求P点的轨迹C的方程，并说明它表示怎样的曲线？

（3）设点G(-1，0)，若直线y=kx+m（m≠0）与曲线C交于M、N 两点，且M、N两点都在以G为圆心的圆上，求k的取值范围．

得分

评卷人

22．（本题满分14分）

已知A、B、C是直线l上不同的三点，O是l外一点，向量，，满足：-=0．记y=f (x)．

    （1）求函数y=f (x)的解析式；

（2）若对任意x∈[，]，不等式>0恒成立，求实数a的取值范围；

（3）若关于x的方程f (x)=2x+b在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围．

绵阳市高2008级第三次诊断性考试

数学（理）参考解答及评分标准

BACBC    DADAC    DC

13．2               14．60               15．不存在             16．②④

17．解：（1）∵

，  …………………………………3分

由题知，f(x)的最小正周期为，

∴ ．

∴ ．  ……………………………………………………………………4分

∴ +．

此时m应为f (x)的最大值或最小值，

∴ m=，或m=．    ……………………………………………6分

（2）∵ +，

∴

，  ………………………………………8分

∴ 要使函数g(x)是偶函数，则，k∈Z，

解得 ，k∈Z．

∴ 当且仅当k=-1时，取最小正数． ………………………………10分

∴ ．

∴  2kπ-π≤4x≤2kπ，k∈Z，解得≤x≤，k∈Z．

∴  g(x)的单调递增区间是[]，k∈Z．   …………………12分

18．（1）证明：∵ PA⊥AD，二面角P-AD-C是直二面角，

∴ PA⊥面ABCD，

∴ PA⊥CD．

如图，连接AC．∵ ABCD是菱形，∠BAD=120º，

∴ ∠CAD=60º，∠ADC=60º．

∴ △ADC是等腰三角形．

∵ E是CD的中点，

∴ AE⊥CD．

∴ CD⊥面PAE，

∴ 平面PAE⊥面PCD． ……………………………………………………4分

（2）如图以A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz．

∵ PA⊥面ABCD，

∴ ∠PCA是PC与面ABCD所成角．

∴ ∠PCA=45º．

∴ PA=AC=AB=2．

∴ P(0，0，2)．

又∵ D(-1，，0)， A(0，0，0)，

设AF=λ，则0<λ<2，F(λ，0，0)，

∴ (0，0，2)，(λ，0，0)，(-1，，-2)，(λ，0，-2)，

设面APF的法向量为n₁=(x，y，z)，

∴ n₁，n₁，

∴   令y=1，可得n₁=(0，1，0)．…………………………………7分

同理可求得面PDF的一个法向量为n₂=(1，，)． ………………9分

∴  cos<n₁，n₂>=．

假设存在点F满足条件，则=，

整理得：λ²+8λ-8=0，

解得：λ=（负根已舍）． …………………………………………11分

因为0<<2．

∴  在AB上存在点F满足条件，此时，AF=．…………………12分

19．解：（1）设盒子中有“会徽卡”n张，依题意有，，

解得n=3．

即盒中有“会徽卡”3张．…………………………………………………3分

（2）因为ξ表示某人一次抽得2张“福娃卡”终止时，所有人共抽取了卡片的次数，所以ξ的所有可能取值为：1，2，3，4．………………………4分

；

；

；

．

ξ

1

2

3

4

概率分布表为：

…………………………………………………………………………10分

∴ ξ的数学期望为Eξ=．  ………………12分

20．解：（1）根据题意可列出如下方程组：

       …………………………………………………………3分

解得a₁₁=1，d=，q=．  …………………………………………………5分

（2）∵  a_nn=a_n1?q^n-1

=[a₁₁+(n-1)d]?q^n-1

=[1+(n-1)×]?()^n-1

=，    ……………………………………………………7分

∴

，

，

两式相减得 

．

∴ ．    …………………………………………………………10分

于是原不等式化为  4ⁿ-3×2ⁿ-40>0，

即  (2ⁿ+5)(2ⁿ-8)>0．

∴ 2ⁿ>8，

∴ n>3．

故使不等式成立的最小正整数为4．………………………………………12分

21．解：（1）∵ A(x_A，y_A)，B(x_B，y_B)分别在射线=0，上，

∴ ，，即，，

∴ x_Ax_B=-3y_Ay_B．

又∵ ，

∴ x_Ax_B+y_Ay_B=-2．

∴ -2y_Ay_B=-2，

∴ y_Ay_B=1．……………………………………………………………………2分

（2）设P(x，y)．

由可得  ，，

即 ，

∴ ，(y_A+y_B)²=4y²，

两式相减有：x²?4y²，即．…………………………4分

∵ y_A≥0，y_B≥0，且y_A、y_B不同时为0，

∴ y>0．

∴轨迹C的方程为（y>0），它表示双曲线的上支．

………………………………………………………………………………5分

（3）

消去x，整理得：(3k²-1)y²+2my-m²-3k²=0．……………………………6分

∵ 直线y=kx+m与曲线C交于M，N两点，设M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，

∴ Δ>0，y₁+y₂>0，y₁y₂>0，

即…………………………………8分

由①整理得：m²+3k²-1>0，                ④

由③有：3k²-1<0，                             ⑤

∴  由②有m>0．

又∵  M、N在以点G为圆心的圆上，

设MN的中点为Q，则GQ⊥MN，即．

∵  Q()，

∴  ，，

∴  ．

∴  ．

∵  x₁≠x₂

∴  ，

∴  ．

又∵ ，

∴  ．

整理得4mk=3k²-1，      ⑥…………………………………………………10分

把⑥代入④中有：m²+4mk>0，

由m>0，所以m+4k>0．

又由⑥有m=，代入上式得，

∴ ，

∵  4mk=3k²-1中3k²-1<0，m>0，∴k<0．

于是19k²-1<0．

解得 ．

再由3k²-1<0，得．

综合得k的取值范围为(，0)．………………………………………12分

22．解：（1）∵ -=0，

∴  =．

又∵ A、B、C在同一条直线上，

∴  ．

∴  ，即．………………………3分

（2）∵ ，

∴ 原不等式为．

得， ① ……………………………4分

设，

，

依题意知上恒成立，

∵ ，

，

∴  上都是增函数，

∴  要使不等式①成立，当且仅当a<g()或a>h()，

即a<ln，或a>ln．……………………………………………………8分

（3）方程f (x)=2x+b即为，

变形为．

令，x∈[0，1]，

∴ ．………………………10分

列表写出x，，在[0，1]上的变化情况：

x

0

(0，)

(，1)

1

小于0

0

大于0

ln2

单调递减

取极小值ln3-

单调递增

ln5-

………………………………………………………………………………12分

显然在[0，1]上的极小值也即为它的最小值ln3-．

现在比较ln2与ln5-的大小：

∵ ln5--ln2==>>0，

∴ ln5->ln2．

∴ 要使原方程在[0，1]上恰有两个不同的实根，必须使ln3-<b≤ln2．

即实数b的取值范围为ln3-<b≤ln2．  …………………………………14分