例9、的展开式中的系数为                       .

解：得展开式中的系数为=179.

例10、已知函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是      .

解：，由复合函数的增减性可知，在上为增函数，

∴，∴.

2、特殊化法：当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值（或特殊函数，或特殊角，特殊数列，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等）进行处理，从而得出探求的结论.这样可大大地简化推理、论证的过程.

例11、已知（1－2ｘ）^７＝ａ₀＋ａ₁ｘ＋ａ₂ｘ^２＋…＋ａ_７ｘ^７，那么ａ₁＋ａ₂＋…＋ａ^７＝_____．
解：将已知与求解对照：
　　ａ₀＋ａ₁ｘ＋ａ₂ｘ^２＋…＋ａ_７ｘ^７=（1－2ｘ）^７，
　　ａ₁＋ａ₂＋…＋ａ^７＝？
　　可见取ｘ＝0时，得ａ₀＝1；再取ｘ＝1以求值．有
　　ａ₁＋ａ₂＋…＋ａ^７＝（1－2）^７－ａ₀＝－2．
说明：通过对未知变量x赋以特殊值0和1，十分简洁地求出了问题的答案，收到了事半功倍的效果．

例12、在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c。若a、b、c成等差数列，则             。

解：特殊化：令，则△ABC为直角三角形，，从而所求值为。

例13、 过抛物线的焦点F作一直线交抛物线交于P、Q两点，若线段PF、FQ的长分别为p、q，则           。

解：此抛物线开口向上，过焦点且斜率为k的直线与抛物线均有两个交点P、Q，当k变化时PF、FQ的长均变化，但从题设可以得到这样的信息：尽管PF、FQ不定，但其倒数和应为定值，所以可以针对直线的某一特定位置进行求解，而不失一般性。

设k = 0，因抛物线焦点坐标为把直线方程代入抛物线方程得，∴，从而。

例14、  求值         。

分析：题目中“求值”二字提供了这样信息：答案为一定值，于是不妨令，得结果为。已知(1－2x)＝a＋ax＋ax＋…＋ax，那么a＋a＋…＋a＝        。

解：令x＝1，则有（－1）＝a＋a＋a＋…＋a＝－1；令x＝0,则有a＝1。所以a＋a＋…＋a＝－1－1=－2。

例15、在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，如果a、b、c成等差数列，则  

解法一：取特殊值a＝3, b＝4, c＝5 ,则cosA＝cosC＝0, .

解法二：取特殊角A＝B＝C＝60⁰  cosA＝cosC＝,.

例16、如果函数对任意实数都有，那么的大小关系是   .

解：由于，故知的对称轴是.可取特殊函数，即可求得.∴.

例17、已知SA，SB，SC两两所成角均为60°，则平面SAB与平面SAC所成的二面角为                .

解：取SA=SB=SC，则在正四面体S－ABC中，易得平面SAB与平面SAC所成的二面角为.

例18、已知是直线，是平面，给出下列命题：①若，则∥；②若，则∥；③若内不共线的三点到的距离都相等，则∥；④若，且∥，∥，则∥；⑤若为异面直线，，∥，,∥，则∥.

则其中正确的命题是              .（把你认为正确的命题序号都填上）

解：依题意可取特殊模型正方体AC₁（如图），在正方体AC₁中逐一判断各命题，易得正确的命题是②⑤.

3、数形结合法：对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目条件的特点，作出符合题意的图形，做到数中思形，以形助数，并通过对图形的直观分析、判断，则往往可以简捷地得出正确的结果.数形结合，能使抽象的数学问题转化成直观的图形，使抽象思维和形象思维结合起来．这种思想是近年来高考的热点之一，也是解答数学填空题的一种重要策略．

例19、如果不等式的解集为A，且，那么实数a的取值范围是          。

解：根据不等式解集的几何意义，作函数和

函数的图象（如图），从图上容易得出实数a的取

值范围是。

例20、  求值            。

解：，构造如图所示的直角三角形，则其中的角即为，从而所以可得结果为。

例21、  已知实数x、y满足，则的最大值是         。

解：可看作是过点P（x，y）与M（1，0）的直线的斜率，其中点P的圆上，如图，当直线处于图中切线位置时，斜率最大，最大值为。

例22、不等式>x＋1的解集是       。

解：如图，在同一坐标系中画出函数y＝与y＝x＋1的图像，由图中可以直观地得到：－≤x<2，所以所求解集是[－,2)。

例23、已知向量=，向量=，则|2－|的最大值是       

解：因，故向量2和所对应的点A、B都在以原点为圆心，2为半径的圆上，从而|2－|的几何意义即表示弦AB的长，故|2－|的最大值为4.

例24、设函数 f(x)＝x³＋ax²＋2bx＋c．若当 x∈（0，1）时，f(x)取得极大值；x∈（1，2）时，f(x)取得极小值，则 的取值范围            ．

解：f´(x)＝ x²＋ax＋2b，令f´(x)＝0，由条件知，上述方程应满足：一根在（0，1）之间，另一根在（1，2）之间，

∴ ，得 ，在aob坐标系中，作出上述区域如图所示，而 的几何意义是过两点P(a，b)与A(1，2)的直线斜率，而P(a，b)在区域内，由图易知k_PA∈（，1）．

4、等价转化法：通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”将问题等价转化成便于解决的问题，从而得到正确的结果.

例25、 求值            。

解：，

构造如图所示的直角三角形，则其中的角即为，从而

所以可得结果为。

例26、 已知实数x、y满足，则的最大值是         。

解：可看作是过点P（x，y）与M（1，0）的直线的斜率，其中点P的圆上，如图，当直线处于图中切线位置时，斜率最大，最大值为。。

例27、 不论k为何实数，直线与曲线恒有交点，则实数a的取值范围是        。

解：题设条件等价于点（0，1）在圆内或圆上，或等价于点（0，1）到圆，∴。

例28、函数单调递减区间为             。

解：易知∵y与y²有相同的单调区间，而，∴可得结果为。

总之，能够多角度思考问题，灵活选择方法，是快速准确地解数学填空题的关键。

例29、不等式的解集为，则_______，________.

解：设，则原不等式可转化为：∴a > 0，且2与是方程的两根，由此可得：.

例30、不论为何实数，直线与圆恒有交点，则实数的取值范围是        .

解：题设条件等价于点（0，1）在圆内或圆上，或等价于点（0，1）到圆，∴.

5、构造法：根据题设条件与结论的特殊性，构造出一些新的数学形式，并借助于它认识和解决问题的一种方法.

例31、如图，点P在正方形ABCD所在的平面外，PD⊥ABCD，

PD=AD，则PA与BD所成角的度数为         .

解：根据题意可将此图补形成一正方体，在正方体中易求得PA与BD所成角为60°.

例32、4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒中，则只有1个空盒的放法共有             种（用数字作答）.

解：符合条件的放法是：有一个盒中放2个球，有2个盒中各放1个球.因此可先将球分成3堆（一堆2个，其余2堆各1个，即构造了球的“堆”），然后从4个盒中选出3个盒放3堆球，依分步计算原理，符合条件的放法有（种）.

例33、椭圆 的焦点F₁、F₂，点P是椭圆上动点，当∠F₁PF₂为钝角时，点P的横坐标的取值范围是             

解：构造圆x²＋y²＝5，与椭圆 联立求得交点x₀² ＝ x₀∈（－ ，）

6、分析法：根据题设条件的特征进行观察、分析，从而得出正确的结论.

例34、如右图，在直四棱柱中，当底面四边形满足条件                    时，有（填上你认为正确的一个条件

即可，不必考虑所有可能性的情形）.

解：因四棱柱为直四棱柱，故为在面上的射影，从而要使，只要与垂直，故底面四边形只要满足条件即可.

例35、以双曲线的左焦点F，左准线l为相应的焦点和准线的椭圆截直线所得的弦恰好被x轴平分，则k的取值范围是                .

解：左焦点F为（－2，0），左准线l：x ＝－，因椭圆截直线所得的弦恰好被x轴平分，故根据椭圆的对称性知，椭圆的中心即为直线与x轴的交点，由 ，得0 ＜ k ＜ .

（二）减少填空题失分的检验方法

1、回顾检验

例36、满足条件的角的集合为      .

错解：

检验：根据题意，答案中的不满足条件，应改为；其次，角的取值要用集合表示.故正确答案为

2、赋值检验.若答案是无限的、一般性结论时，可赋予一个或几个特殊值进行检验，以避免知识性错误.

例37、已知数列的前n项和为，则通项公式=      .

错解：

检验：取n=1时，由条件得，但由结论得a₁=5.故正确答案为

3、逆代检验.若答案是有限的、具体的数据时，可逐一代入进行检验，以避免因扩大自变量的允许值范围而产生增解致错.

例38、方程的解是      .

错解：设，则，根据复数相等的定义得解得.故

检验：若，则原方程成立；若，则原方程不成立.故原方程有且只有一解z=-i.

4、估算检验.当解题过程是否等价变形难以把握时，可用估算的方法进行检验，以避免忽视充要条件而产生逻辑性错误.

例39、不等式的解是       .

错解：两边平行得，即，解得.

检验：先求定义域得，原不等式成立；若，原不等式不成立，故正确答案为x>1. 

5、作图检验.当问题具有几何背景时，可通过作图进行检验，以避免一些脱离事实而主观臆断致错.

例40、函数的递增区间是      .

错解：

检验：由作图可知正确答案为

6、变法检验.一种方法解答之后，再用其它方法解之，看它们的结果是否一致，从而可避免方法单一造成的策略性错误.

例41、若，则的最小值是      .

错解：      

检验：上述错解在于两次使用重要不等式，等号不可能同时取到.

换一种解法为：

7、极端检验.当难以确定端点处是否成立时，可直接取其端点进行检验，以避免考虑不周全的错误.

例42、已知关于x的不等式的解集是空集，求实数a的取值范围      .

错解：由，解得

检验：若a=-2，则原不等式为，解集是空集，满足题意；若，则原不等式为，即，解得，不满足题意.故正确答案为

切记：解填空题应方法恰当，争取一步到位，答题形式标准，避免丢三落四，“一知半解”.

（三）数学填空题经典例题剖析、点评

例43、不等式的解集是______。

解：不等式等价于，也就是，所以，从而应填． 答案：

点评：快速解答此题需要记住小结论：应用小结论：

例44、 已知，且，则________.

解：由可以读出．而有条件，所以知道，.答案：

点评：记住一些常用的结论，有时可以快速解答问题，如：“当… 时”，看看上面的＂读出＂，“取舍”，“用公式”，想想解题思维的流程，会有什么启发？

例45、 已知0<t<1，、,则与的大小关系为______.

解：该题几乎在各种数学复习参考书中都出现，是一个很典型的问题，但很多书本都是采用不等式的方法，如作差、作商、不等式的性质等。其实作为填空题，它的最好解法是数形结合，作出函数的简图，再根据图形的特征，容易发现a<b.

点评：本题也可以采取另一种作法，首先看一个不等式的性质：和是两个异号的实数，当且仅当与同号时。，不论的值如何，与同号，所以答案：

用数形结合法解填空题，直观，容易懂，不必写出严格的步骤。这两种作法的最大的优点是不用对底数是否比1大讨论。

例46、底面边长为2的正三棱锥中，E、F、G、H分别是PA、AC、BC、PB中点，则四边形EFGH的面积取值范围是_________。

例47、实数、满足则的最小值为__________

解：由于这是个轮换对称式，可以大胆地猜想当时最小。答案：12

点评：这个题目如果要用严谨方法求解，会显得非常麻烦，解题思路和运算量都是无法预料的。

例48、 已知函数在区间上为增函数，则实数a的取值范围是      。

解：，由复合函数的增减性可知，在上为增函数，∴，∴。答案：

点评：熟悉型函数的一些性质和结论对解决一些填空题或选择题很有帮助。

例49、不等式的解集为（4，b），则a=           ，b=          。

解：设，则原不等式可转化为：∴a > 0，且2与是方程的两根，由此可得：。答案：

点评：“不等式解集中的区间端点值是不等式改为方程后的根或增根”，在已知不等式的根求其中参数时，经常用这个性质。

例50、 不论k为何实数，直线与曲线恒有交点，则实数a的取值范围是        。

解：题设条件等价于点（0，1）在圆内或圆上，或等价于点（0，1）到圆的圆心的距离不超过半径，∴。答案：

点评：注意数与形的结合，提高解题的效率。

（四）数学填空题强化练习

例51、已知函数，则

讲解　由，得，应填4.

请思考为什么不必求呢？

例52、集合的真子集的个数是

讲解　，显然集合M中有90个元素，其真子集的个数是，应填.

快速解答此题需要记住小结论;对于含有n个元素的有限集合,其真子集的个数是

例53、若函数的图象关于直线对称，则

讲解　由已知抛物线的对称轴为,得　，而，有，故应填6.

例54、如果函数，那么

讲解　容易发现，这就是我们找出的有用的规律，于是

原式＝，应填

类似题：

设，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得

例55、已知点P在第三象限，则角的终边在第象限.

讲解　由已知得

从而角的终边在第二象限，故应填二.

例56、不等式（）的解集为.

讲解 注意到，于是原不等式可变形为

而，所以，故应填

例57、如果函数的图象关于直线对称，那么

讲解　，其中.

是已知函数的对称轴，

，

即　　　　，

于是　　　　　故应填 .

    在解题的过程中，我们用到如下小结论：

函数和的图象关于过最值点且垂直于x轴的直线分别成轴对称图形.

例58、设复数在复平面上对应向量，将按顺时针方向旋转后得到向量，对应的复数为，则

讲解　应用复数乘法的几何意义，得

　　　　　                   　，

于是　　　 故应填　

例59、设非零复数满足　，则代数式　的值是____________.

讲解　将已知方程变形为　　，

解这个一元二次方程，得

    显然有,　而,于是

    原式＝

    　　＝

    　　＝

    在上述解法中，“两边同除”的手法达到了集中变量的目的，这是减少变元的一个上策，值得重视.

例60、已知是公差不为零的等差数列，如果是的前n项和，那么

讲解　特别取，有，于是有

　　　　　　　  故应填2.

例61、列中， , 则

讲解  分类求和，得

    ，故应填．

例62、以下四个命题：

①

②

③凸n边形内角和为
④凸n边形对角线的条数是

其中满足“假设时命题成立，则当n=k+1时命题也成立’’.但不满足“当（是题中给定的n的初始值）时命题成立”的命题序号是　　　　　.

讲解

 ①当n=3时，，不等式成立；

②当n=1时，，但假设n=k时等式成立，则

　　　；

③　，但假设成立，则

④　，假设成立，则

故应填②③.

例63、某商场开展促销活动，设计一种对奖券，号码从000000到999999. 若号码的奇位数字是不同的奇数，偶位数字均为偶数时，为中奖号码，则中奖面（即中奖号码占全部号码的百分比）为　　　　　　　.

讲解 　中奖号码的排列方法是：　奇位数字上排不同的奇数有种方法，偶位数字上排偶数的方法有，从而中奖号码共有种，于是中奖面为

    　　　　　　　　　　　　   故应填

例64、  的展开式中的系数是

_{讲解　由知，所求系数应为的x项的系数与项的系数的和，即有}

_{故应填1008.}

例65、过长方体一个顶点的三条棱长为3、4、5, 且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的表面积是________.

讲解　长方体的对角线就是外接球的直径,　即有

从而　　　，故应填

例65、若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积是　　　　（只需写出一个可能的值）．

讲解  本题是一道很好的开放题，解题的开窍点是：每个面的三条棱是怎样构造的，依据“三角形中两边之和大于第三边”，就可否定｛1，1，2｝，从而得出｛1，1，1｝，｛1，2，2｝，｛2，2，2｝三种形态，再由这三类面构造满足题设条件的四面体，最后计算出这三个四面体的体积分别为： , ,，故应填.、 、 中的一个即可.

例66、直线被抛物线截得线段的中点坐标是___________.

讲解　由消去y，化简得

设此方程二根为，所截线段的中点坐标为，则

　　　　　　　　故 应填 .

例67、椭圆上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，则当m取最大值时，点P的坐标是_________________.

讲解  记椭圆的二焦点为，有

则知        

    显然当，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25.

    故应填或

例68、一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的函数解析式是，在杯内放一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r的取值范围是___________.

讲解   依抛物线的对称性可知，大圆的圆心在y轴上，并且圆与抛物线切于抛物线的顶点，从而可设大圆的方程为 

    由                  

消去x，得                                          （*）

解出                 或

    要使（*）式有且只有一个实数根，只要且只需要即

    再结合半径，故应填

例69、知函数，那么+    。

讲解   计算之前，应认真观察数式结构特征，因为结构决定了解题的方向。

我们从整体考虑：（定值），于是，，，又，  故原式=。

例70、若关于x的方程有两个不等实根，则实数k的取值范围是       。

讲解   明确范围，画图分析。

（运用运动变化的观点研究数学问题）

 易得：

例71、在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a，b，c，若a，b，c成等差数列，则                。

讲解   由题设可取a=b=c即三角形ABC为等边三角形，则

        原式=。   （也可以取a=3，b=4，c=5）

例72、（2007?宁夏/海南）设函数为奇函数，则          .

讲解   由于是奇函数，则，。

例73、的值为              。

讲解  令，则原式=

例74、（2007?江西）如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线、于不同的两点，

若，则的值为            .

讲解  取三角形为正三角形，，则易得，所以。

例75、若函数的图象关于直线对称，则

讲解   由已知抛物线的对称轴为,得a＝0，而，有b＝2，故应填2.

例76、的展开式中的系数是

_{讲解　由知，所求系数应为的x项的系数与项的系数的和，即有}

_{故应填1008.}

例77、若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积是　　　　　　　（只需写出一个可能的值）．

讲解  本题是一道很好的开放题，解题的开窍点是：每个面的三条棱是怎样构造的，依据“三角形中两边之和大于第三边”，就可否定｛1，1，2｝，从而得出｛1，1，1｝，｛1，2，2｝，｛2，2，2｝三种形态，再由这三类面构造满足题设条件的四面体，最后计算出这三个四面体的体积分别为： , ,，故应填.、 、 中的一个即可.

例78、如果随机变量ξ～N (),且P（）=0.4，则P（）=   

讲解   如果随机变量ξ～N (),且P（）=0.4，

 P（）=，

∴， ∴P（）=。

例79、已知集合为，它的所有的三个元素的子集的和是，则＝            。

讲解   因为包含了任意一个元素的三元素集合共个，所以在中，每个元素都出现了次，所以

，所以

。

例80、椭圆的焦点为，点P为其上的动点，当为钝角时，点P横坐标的取值范围是_______________________；

讲解  设P(x，y)，则当时，点P的轨迹为，由此可得点P的横坐标。

又当P在x轴上时，，点P在y轴上时，为钝角，由此可得点P横坐标的取值范围是：；

例81、 若函数上为增函数，则实数a、b的取值范围是____；

讲解    由已知可画出下图，符合题设，故a>0且。

例82、如图是一个边长为4的正方形及其内切圆，若随机向正方形内丢一粒豆子，则豆

子落入圆内的概率是________．

讲解   因为正方形的面积是16，内切圆的面积是，所以豆子落入圆内的概率是．

例83、有些计算机对表达式的运算处理过程实行“后缀表达式”：运算符号紧跟在运算对象的后面，按照从左到右的顺序运算，如表达式，其运算为：，若计算机进行运算：，那么使此表达式有意义的的范围为 _____________ ．

讲解　计算机进行运算：时，它表示的表达式是，当其有意义时，得，解得．

例84、某种汽车安全行驶的稳定性系数μ随使用年数t的变化规律是μ＝μ₀e^－λt，其中μ₀、λ是正常数．经检测，当t＝2时，μ＝0.09μ₀，则当稳定系数降为0.50μ₀时，该种汽车的使用年数为     (结果精确到1，参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)．

讲解    μ₀＝μ₀(e^－λ)²，得e^－λ＝，于是

0.50μ₀＝μ₀(e^－λ)^t()^t，

两边取常用对数，lg，

解出　 　　　　t＝＝13.1．

（五）高考数学填空题分类指导

1、函数与不等式

例85、 已知函数，则

讲解　由，得，应填4.请思考为什么不必求呢？

例86、集合的真子集的个数是

讲解　，显然集合M中有90个元素，其真子集的个数是，应填.

 快速解答此题需要记住小结论;对于含有n个元素的有限集合,其真子集的个数是

例87、若函数的图象关于直线对称，则

讲解　由已知抛物线的对称轴为,得　，而，有，故应填6.

例88、如果函数，那么

讲解　容易发现，这就是我们找出的有用的规律，

于是原式＝，应填

2、三角与复数

例89、已知点P在第三象限，则角的终边在第象限.

讲解　由已知得从而角的终边在第二象限，故应填二.

例90、不等式（）的解集为.

讲解  注意到，于是原不等式可变形为

而，所以，故应填

例91、如果函数的图象关于直线对称，那么

讲解　，其中.是已知函数的对称轴，

，即，于是　

故应填 .

点评  在解题的过程中，我们用到如下小结论：函数和的图象关于过最值点且垂直于x轴的直线分别成轴对称图形.

例92、设复数在复平面上对应向量，将按顺时针方向旋转后得到向量，对应的复数为，则

讲解　应用复数乘法的几何意义，得

，

于是     故应填　

例93、    设非零复数满足　，则代数式　的值是____________.

讲解　将已知方程变形为　　，解这个一元二次方程，得

          显然有,　而,于是

       原式＝＝＝

       在上述解法中，“两边同除”的手法达到了集中变量的目的，这是减少变元的一个上策，值得重视.

3、数列、排列组合与二项式定理

例94、　已知是公差不为零的等差数列，如果是的前n项和，那么

讲解　特别取，有，于是有

　　  故应填2.

例95、数列中， , 则

讲解  分类求和，得

       ，故应填．

例96、有以下四个命题：①

②③凸n边形内角和为
④凸n边形对角线的条数是

其中满足“假设时命题成立，则当n=k+1时命题也成立’’.但不满足“当（是题中给定的n的初始值）时命题成立”的命题序号是　　　　　　　.

讲解   ①当n=3时，，不等式成立；

当n=1时，，但假设n=k时等式成立，则

　　　；

③　，但假设成立，则

④　，假设成立，则

　　　　故应填②③.

例97、某商场开展促销活动，设计一种对奖券，号码从000000到999999. 若号码的奇位数字是不同的奇数，偶位数字均为偶数时，为中奖号码，则中奖面（即中奖号码占全部号码的百分比）为　　　　　　　.

讲解 　中奖号码的排列方法是：　奇位数字上排不同的奇数有种方法，偶位数字上排偶数的方法有，从而中奖号码共有种，于是中奖面为

       故应填

  的展开式中的系数是

_{讲解　由知，所求系数应为的x项的系数与项的系数的和，即有故应填1008.}

4. 立体几何

例98、过长方体一个顶点的三条棱长为3、4、5, 且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的表面积是________.

讲解　长方体的对角线就是外接球的直径,　即有

从而　，故应填

例99、若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积是（只需写出一个可能的值）．

讲解  本题是一道很好的开放题，解题的开窍点是：每个面的三条棱是怎样构造的，依据“三角形中两边之和大于第三边”，就可否定｛1，1，2｝，从而得出｛1，1，1｝，｛1，2，2｝，｛2，2，2｝三种形态，再由这三类面构造满足题设条件的四面体，最后计算出这三个四面体的体积分别为： , ,，故应填.、 、 中的一个即可.

例100、 如右图，E、F分别是正方体的面ADD₁A₁、面BCC₁B₁的中心，则四边形BFD₁E在该正方体的面上的射影可能是　　　　　.（要求：把可能的图的序号都填上）

讲解  因为正方体是对称的几何体，所以四边形BFD₁E在该正方体的面上的射影可分为：上下、左右、前后三个方向的射影，也就是在面ABCD、面ABB₁A₁、面ADD₁A₁上的射影.

四边形BFD₁E在面ABCD和面ABB₁A₁上的射影相同，如图2所示；

四边形BFD₁E在该正方体对角面的ABC₁D₁内，它在面ADD₁A₁上的射影显然是一条线段，如图3所示.  故应填23.

5、解析几何

例101、直线被抛物线截得线段的中点坐标是___________.

讲解　由消去y，化简得

设此方程二根为，所截线段的中点坐标为，则

故 应填 .

例102、椭圆上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，则当m取最大值时，点P的坐标是_____________________.

讲解  记椭圆的二焦点为，有

则知显然当，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25.     故应填或

例103、一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的函数解析式是，在杯内放一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r的取值范围是___________.

讲解   依抛物线的对称性可知，大圆的圆心在y轴上，并且圆与抛物线切于抛物线的顶点，从而可设大圆的方程为 

      由消去x，得    （*）

解出  或要使（*）式有且只有一个实数根，只要且只需要即       再结合半径，故应填

点评：填空题的类型一般可分为：完形填空题、多选填空题、条件与结论开放的填空题. 这说明了填空题是数学高考命题改革的试验田，创新型的填空题将会不断出现. 因此，我们在备考时，既要把关注这一新动向，又要做好应试的技能准备.

★高考真题强化练习108题（含详解详析）

          理论联系实践                  挑战高考真题

       Are you ready?           Let’s go!

1．集合R| ，则=         .

2．曲线处的切线与x轴、直线所围成的三角形的面积为=             .

3．已知、均为锐角，且=             .

4．=               .

5．某轻轨列车有4节车厢，现有6位乘客准备乘坐，设每一位乘客进入每节车厢是等可能的，则这6位乘客进入各节车厢的人数恰好为0，1，2，3的概率为            .

6．连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是         （填写所有正确选项的序号）.

       ①菱形                     ②有3条边相等的四边形              ③梯形

       ④平行四边形           ⑤有一组对角相等的四边形

7．复数的值是                 。

8．                     。

9．已知 ，则              。

10．在数列中，若，则该数列的通项                。

11．设，函数有最大值，则不等式的解集为         。

12．已知变量满足约束条件若目标函数（其中）仅在点处取得最大值，则的取值范围为                   。

13．复数的虚部为________.

14．已知x,y满足，

则函数z = x+3y的最大值是________.

15．若函数f(x) = 的定义域为R，

则的取值范围为_______.

16．设{}为公比q>1的等比数列，若和是方程的两根，

则__________.

17． 某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲、乙两门课程不能都选，

则不同的选课方案有___________种。（以数字作答）

18．过双曲线的右焦点F作倾斜角为的直线，交双曲线于P、Q两点，

则|FP||FQ|的值为__________.

19．设集合U={1,2,3,4,5},A={2,4},B={3,4,5},C={3,4},则=        .

20．已知函数f(x)=  ，点在x=0处连续，则        .

21．已知(a>0) ，则        .

22．设是等差数列的前项和，, ,则       

23．直线与圆相交于两点A，B，弦AB的中点为（0，1），则直线的方程为        .

24．某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如题（16）图所示的6个点A、B、C、A_1、B₁、C₁上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有        种（用数字作答）

25．已知>0，若平面内三点A（1，-），B（2，），C（3，）共线，则=_______

26．已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A、B两点

      若，则=____________。

27．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c ，若，则_________________。

28．已知球O面上四点A、B、C、D，DA平面ABC，ABBC，DA=AB=BC=，

则球O体积等于___________。

29．已知t为常数，函数在区间[0，3]上的最大值为2，则t=________

30．用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是_________（用数字作答)。

31．若，且当时，恒有，则以,b

为坐标点P（，b）所形成的平面区域的面积等于___________。

32．的二项展开式中，的系数是             （用数字作答）.

33．一个正方体的各定点均在同一球的球面上，若该球的体积为，则该正方体的表面积为                  .

34．已知圆C的圆心与抛物线的焦点关于直线对称.直线与圆C相交于两点，且,则圆C的方程为                   .

35．如图，在平行四边形中，，

则       .

36．已知数列中，，则             .

37．设，若仅有一个常数c使得对于任意的，都有满足方程，这时，的取值的集合为                  .

38．展开式中的系数为­______________。

39．已知直线与圆，则上各点到的距离的最小值为_______。

40．已知正四棱柱的对角线的长为，且对角线与底面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于________________。

41．设等差数列的前项和为，若，则的最大值为___________。

42．，则        ．

43．长方体的各顶点都在球的球面上，

其中．两点的球面距离记为，两点的球面距离记为，则的值为        ．

44．关于平面向量．有下列三个命题：

①若，则．②若，，则．

③非零向量和满足，则与的夹角为．

其中真命题的序号为　　　　．（写出所有真命题的序号）

45．某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有        种．（用数字作答）．

46．设向量，若向量与向量共线，则     ．

47．设曲线在点处的切线与直线垂直，则        ．

48．已知是抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于两点．设，则与的比值等于        ．

49．平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：

充要条件①                                               ；

充要条件②                                                ．

（写出你认为正确的两个充要条件）

50.函数的反函数是____________________.

51.在体积为的球的表面上有三点,两点的球面距离为,则球心到平面的距离为______________.

52.已知的展开式中没有常数项,,则______.

53.已知,且在区间有最小值,无最大值,则__________.

54．直角坐标平面上三点，若为线段的三等分点，则=      ．

55．不等式的解集为                ．

56．过抛物线的焦点作倾角为的直线，与抛物线分别交于、两点（在轴左侧），则                        ．

57．如图1，一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P。如果将容器倒置，水面也恰好过点（图2）。有下列四个命题：

A．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半

B．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点

C．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点

D．若往容器内再注入升水，则容器恰好能装满

其中真命题的代号是：              （写出所有真命题的代号）．

58..

59.已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F,右准线为,离心率e=

过顶点A(0,b)作AM,垂足为M，则直线FM的斜率等于           .

60.设函数存在反函数,且函数的图象过点(1,2),

则函数的图象一定过点      .

61.已知函数

（1）若a＞0,则的定义域是           ;

(2) 若在区间上是减函数，则实数a的取值范围是             .

62.对有n(n≥4)个元素的总体进行抽样，先将总体分成两个子总体

和 (m是给定的正整数，且2≤m≤n-2),再从

每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本.用表示元素i和j同时出现在样

本中的概率，则=          ; 所有 (1≤i＜j≤的和等于           .

63．在△中，三个角的对边边长分别为,则的值为          .

64.已知函数,,其中,为常数，则方程的解集为             .

65.已知函数,等差数列的公差为.若,则

            .

66.观察下列等式：

……………………………………

可以推测，当≥2（）时，                   .

67．若,则 (用数字作答)

68． 若直线与圆 （为参数）没有公共点，

则实数m的取值范围是         

69．若三棱锥的三个侧圆两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是　　　　

70．设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈R，都有a+b、a-b， ab、　∈P（除数b≠0），则称P是一个数域.例如有理数集Q是数域；数集也是数域.有下列命题：

　　　①整数集是数域；                         ②若有理数集，则数集M必为数域；

③数域必为无限集；                     ④存在无穷多个数域.

其中正确的命题的序号是　　　　.（把你认为正确的命题的序号填填上）

71．已知，其中是虚数单位，那么实数           ．

72．已知向量与的夹角为，且，那么的值为           ．

73．若展开式的各项系数之和为32，则           ，其展开式中的常数项为           ．（用数字作答）

74．如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则           ；

           ．（用数字作答）

75．已知函数，对于上的任意，有如下条件：

①；  ②；  ③．

其中能使恒成立的条件序号是            ．

76．某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第棵树种植在点处，其中，，当时，

表示非负实数的整数部分，例如，．

按此方案，第6棵树种植点的坐标应为            ；第2008棵树种植点的坐标应为       ．

77．函数的定义域为          ．

78．在数列在中，，，,其中为常数，则的值是       

79．若为不等式组表示的平面区域，则当从－2连续变化到1时，动直线 扫过中的那部分区域的面积为             

80．已知在同一个球面上,若

,则两点间的球面距离是             

81．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线

的距离为6，则该双曲线的离心率为　　　　　．

82．设函数为奇函数，则　　　　．

83．是虚数单位，　　　　　．（用的形式表示，）

84．某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排

一个班，不同的安排方法共有                         种．（用数字作答）

85．已知复数，，则复数        ．

86．已知，且，则的值是          ．

87．不等式的解集是            ．

88．某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种. 小张用10元钱买杂志

（每种至多买一本，10元钱刚好用完），则不同买法的种数是        （用数字作答）．

89．随机变量的分布列如下：

其中成等差数列，若则的值是          ．

90．已知点在二面角的棱上，点在内，且．若对于内异于

的任意一点，都有，则二面角的大小是                     ．

91．设为实数，若，

则的取值范围是            ．

92．若函数（是自然对数的底数）的最大值是，且是偶函数，

则________．

93．如图,在正三棱柱中，侧棱长为，

底面三角形的边长为1，则与侧面

所成的角是____________

94．已知的方程是，的方程是，由动点向和所引的切线长相等，则动点的轨迹方程是__________________

95．下面有5个命题：

①函数的最小正周期是．

②终边在轴上的角的集合是．

③在同一坐标系中，函数的图象和函数的图象有三个公共点．

④把函数的图象向右平移得到的图象．

⑤函数在上是减函数．

其中，真命题的编号是___________（写出所有真命题的编号）

96．         .

解析：

97．已知实数x、y满足条件，则z=x+2y的最大值为          .

98．如图，平面内有三个向量、、,其中与与

的夹角为120°，与的夹角为30°,且||＝||＝1，

|| ＝，若＝λ+μ（λ，μ∈R）,

则λ+μ的值为          .

99．安排3名支教教师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有       种.（用数字作答）

100．设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，

与轴正向的夹角为，则为             ．

101．设是不等式组表示的平面区域，则中的点

到直线距离的最大值是          ．

102．与直线和曲线都相切的

半径最小的圆的标准方程是             ．

103．函数的图象恒过定点，若点

在直线上，其中，则的最小值为          ．

104．设函数，则其反函数的定义域为                           ．

105．已知数列对于任意，有，

若，则                                 ．

106．如图，在中，点是的中点，过点的直线分别

交直线，于不同的两点，若，

，则的值为                               ．

107．设有一组圆．

下列四个命题：

Ａ．存在一条定直线与所有的圆均相切

Ｂ．存在一条定直线与所有的圆均相交

Ｃ．存在一条定直线与所有的圆均不相交

Ｄ．所有的圆均不经过原点

其中真命题的代号是                         ．（写出所有真命题的代号）

108．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．

已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量

（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，

与的函数关系式为（为常数），如图

所示．据图中提供的信息，回答下列问题：

（I）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）

与时间（小时）之间的函数关系式为                          ；

（II）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时，学生方可进教室，

那么药物释放开始，至少需要经过              小时后，学生才能回到教室．