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△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,AC=2cm.长为1...
收录时间:2021-09-23    答题:初三数学(纪老师)

【题目】ABC中,∠C=90°,∠A=60°AC=2cm.长为1cm的线段MNABC的边AB上沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动(运动前点M与点A重合).过MN分别作AB的垂线交直角边于PQ两点,线段MN运动的时间为ts

1)当(0≤t≤1)时,PM=____________ QN=___________(t的代数式表示)

2)线段MN运动过程中,四边形MNQP有可能成为矩形吗?若有可能,求出此时t的值;若不可能,说明理由;

3t为何值时,以CPQ为顶点的三角形与ABC相似?

【答案】1PM=t QN= 3t);(2t= s;(3ss

【解析】

1)在ABC中,∠C=90°,∠A=60°AC=2cm,得AB=4cm,在RtAPM中和RtBNQ中利用正切即可求得PMQN的值;

2)当PM=QN时,四边形MNQP为矩形,建立含t的方程,求得t的值;

3)以CPQ为顶点的三角形与ABC相似有两种情况,PQC∽△ABC时和QPC∽△ABC,分别相似三角形的判定和性质,求得相对应的t的值.

1ABC中,∠C=90°,∠A=60°AC=2cm

AB=4cm

经过t秒,AM=t

RtAPM中,∠A=60°

PM=AM•tan60°=t,

BN=AB-AM-MN=4-t-1=3-t

QN= BN•tan30°=3t),

故答案为:t3t),

2)∵AC=2

AB=4

BN=ABAMMN=4t1=3t

QN=BN•tan30°=3t),

由条件知,若四边形MNQP为矩形,需PM=QN,即t=3t),

t=

∴当t=s时,四边形MNQP为矩形;

3)由(2)知,当t= s时,四边形MNQP为矩形,此时PQAB

∴△PQC∽△ABC

除此之外,当∠CPQ=B=30°时,QPC∽△ABC,此时 =tan30°=

=cos60°=

AP=2AM=2t

CP=22t

=cos30°=

BQ= (3t),

又∵BC=2

CQ=2

∴当ss时,以CPQ为顶点的三角形与ABC相似.