（本小题满分13分）如图，已知三棱柱的所有棱长都相等，且侧棱垂直于底面，由沿棱柱侧面经过棱到点的最短路线长为,设这条最短路线与的交点为．

（1）求三棱柱的体积；

(2)在面内是否存在过的直线与面平行？证明你的判断；

（3）证明：平面⊥平面．

（本小题满分13分）如图，在三棱锥中，侧面与侧面均为边长为1

的等边三角形，，为中点．

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）证明：；

(Ⅲ) 求三棱锥的体积．

（本小题满分13分）

如图5．在椎体P-ABCD中，ABCD是边长为1的棱形，

       且∠DAB=60，,PB=2,

       E,F分别是BC,PC的中点．

（1） 证明：AD 平面DEF;

（2） 求二面角P-AD-B的余弦值．

（本小题满分13分）

如图7所示，在边长为12的正方形中，，且AB=3，BC=4，分别交BB₁，CC₁于点P、Q，将该正方形沿BB₁、CC₁折叠，使得与AA₁重合，构成如图5所示的三棱柱ABC—A₁B₁C₁，请在图5中解决下列问题：

   （1）求证：；

   （2）在底边AC上有一点M，满足AM：MC=3：4，求证：BM//平面APQ。

   （3）求直线BC与平面APQ所成角的正弦值。