．(本小题满分14分)已知函数（，是不同时为零的常数），其导函数为.

（1）当时，若不等式对任意恒成立，求的取值范围；

（2）求证：函数在内至少存在一个零点；

（3）若函数为奇函数，且在处的切线垂直于直线，关于的方程在上有且只有一个实数根，求实数的取值范围.

本小题满分14分）

（Ⅰ）已知函数，其中为有理数，且. 求的最小值；

（Ⅱ）试用（Ⅰ）的结果证明如下命题：设，为正有理数. 若，则；

（Ⅲ）请将（Ⅱ）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题.

注：当为正有理数时，有求导公式.

（本小题满分14分）已知函数。

（I）当时，函数取得极大值，求实数的值；

（II）若存在，使不等式成立，其中为的导函数，求实数的取值范围；

（III）求函数的单调区间。

（本小题满分14分） 已知函数图象上一点处的切线方程为．(Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若方程在内有两个不等实根，求的取值范围（其中为自然对数的底数）；（Ⅲ）令，若的图象与轴交于，(其中)，的中点为，求证：在处的导数．

（本小题满分14分）已知函数满足（其中为在点处的导数，为常数）．（1）求函数的单调区间；（2）若方程有且只有两个不等的实数根，求常数；（3）在（2）的条件下，若，求函数的图象与轴围成的封闭图形的面积．