如图,三棱锥中,侧面底面, ,且,.(Ⅰ)求证:平面;

(Ⅱ)若为侧棱PB的中点,求直线AE与底面所成角的正弦值.

【解析】第一问中，利用由知, ,

又AP=PC=2,所以AC=2,

又AB=4, BC=2,,所以,所以,即,

又平面平面ABC,平面平面ABC=AC, 平面ABC,

平面ACP,所以第二问中结合取AC中点O,连接PO、OB,并取OB中点H,连接AH、EH,因为PA=PC,所以PO⊥AC,同(Ⅰ)易证平面ABC,又EH//PO,所以EH平面ABC ,

则为直线AE与底面ABC 所成角,

解

 (Ⅰ) 证明:由用由知, ,

又AP=PC=2,所以AC=2,

又AB=4, BC=2,,所以,所以,即,

又平面平面ABC,平面平面ABC=AC, 平面ABC,

平面ACP,所以

………………………………………………6分

(Ⅱ)如图, 取AC中点O,连接PO、OB,并取OB中点H,连接AH、EH,

因为PA=PC,所以PO⊥AC,同(Ⅰ)易证平面ABC,

又EH//PO,所以EH平面ABC ,

则为直线AE与底面ABC 所成角,

且………………………………………10分

又PO=1/2AC=,也所以有EH=1/2PO=,

由(Ⅰ)已证平面PBC,所以,即,

故,

于是

所以直线AE与底面ABC 所成角的正弦值为

在四棱锥中，平面，底面为矩形，.

（Ⅰ）当时，求证：；

（Ⅱ）若边上有且只有一个点，使得，求此时二面角的余弦值.

【解析】第一位女利用线面垂直的判定定理和性质定理得到。当a=1时，底面ABCD为正方形，

又因为,………………2分

又，得证。

第二问，建立空间直角坐标系，则B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)……4分

设BQ=m，则Q(1，m,0)(0《m《a》

要使，只要

所以，即………6分

由此可知时，存在点Q使得

当且仅当m=a-m，即m=a/2时，BC边上有且只有一个点Q，使得

由此知道a=2,  设平面POQ的法向量为

,所以    平面PAD的法向量

则的大小与二面角A-PD-Q的大小相等所以

因此二面角A-PD-Q的余弦值为

解：(Ⅰ)当时，底面ABCD为正方形，

又因为,又………………3分

(Ⅱ) 因为AB,AD,AP两两垂直，分别以它们所在直线为X轴、Y轴、Z轴建立坐标系，如图所示，

则B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)…………4分

设BQ=m，则Q(1，m,0)(0《m《a》要使，只要

所以，即………6分

由此可知时，存在点Q使得

当且仅当m=a-m，即m=a/2时，BC边上有且只有一个点Q，使得由此知道a=2,

设平面POQ的法向量为

,所以    平面PAD的法向量

则的大小与二面角A-PD-Q的大小相等所以

因此二面角A-PD-Q的余弦值为

设椭圆的左、右顶点分别为，点在椭圆上且异于两点，为坐标原点.

（Ⅰ）若直线与的斜率之积为，求椭圆的离心率；

（Ⅱ）若，证明直线的斜率 满足

【解析】(1)解：设点P的坐标为.由题意，有  ①

由，得，

由，可得，代入①并整理得

由于，故.于是，所以椭圆的离心率

（2）证明：（方法一）

依题意，直线OP的方程为，设点P的坐标为.

由条件得消去并整理得  ②

由，及，

得.

整理得.而，于是，代入②，

整理得

由，故，因此.

所以.

(方法二)

依题意，直线OP的方程为，设点P的坐标为.

由P在椭圆上，有

因为，，所以，即   ③

由，，得整理得.

于是，代入③，

整理得

解得，

所以.

如图⊥平面，⊥，过做

的垂线，垂足为，过做的垂线，垂足为

，求证⊥。以下是证明过程：

要证  ⊥                   

只需证  ⊥平面

只需证  ⊥（因为⊥）

只需证  ⊥平面

只需证       ①    （因为⊥）

只需证  ⊥平面

只需证       ②    （因为⊥）

由只需证  ⊥平面可知上式成立

所以⊥

把证明过程补充完整①              ②