已知a_n=+…+(n∈N^*),求证：＜a_n＜对n∈N^*恒成立.

已知a_n=2n-1，数列{a_n}的前n项和为S_n，b_n=

1

Sn

，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：对一切自然数n，恒有T_n＜2．

已知a_n=2n-1，数列{a_n}的前n项和为S_n，b_n=，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：对一切自然数n，恒有T_n＜2．

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{

Sn+1

}是公比为2的等比数列．
（1）证明：数列{a_n}成等比数列的充要条件是a₁=3；
（2）设b_n=5ⁿ-（-1）ⁿa_n（n∈N^*）．若b_n＜b_n+1对n∈N^*恒成立，求a₁的取值范围．

已知函数f（x）=x²+x．
（1）数列{a_n}满足a₁＞0，a_n+1=f'（a_n），若

1

1+a1

+

1

1+a2

+…+

1

1+an

＜

1

2

对任意n∈N₊恒成立，求a₁的取值范围；
（2）数列{b_n}满足b₁=1，b_n+1=f（b_n），n∈N₊，记Cn=

1

1+bn

，S_k为数列{c_n}前k项和，T_k为数列{c_n}的前k项积，求证：

T1

S1+T1

+

T2

S2+T2

+…+

Tn

Sn+Tn

＜

7

10

．