(本小题满分14分)

已知,,其中是自然常数

（Ⅰ）当时, 求的极值；

（Ⅱ）求证：在（Ⅰ）的条件下，;

（Ⅲ）是否存在，使的最小值是3，若存在求出的值，若不存在，说明理由.

（本小题满分14分）

已知，其中是自然常数，

（1）讨论时, 的单调性、极值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

（2）求证：在（1）的条件下，；

（3）是否存在实数，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

（本小题满分14分）已知函数。

(1)求函数的单调区间与最值；

(2)若方程在区间内有两个不相等的实根，求实数的取值范围；  （其中e为自然对数的底数）

(3)如果函数的图像与x轴交于两点，且，求证：（其中，是的导函数，正常数满足）

（本小题满分14分）

已知数列{x_n}的各项为不等于1的正数，其前n项和为S_n，点P_n的坐标为（x_n,S_n），若所有这样的点P_n (n=1,2，…)都在斜率为k的同一直线(常数k≠0,1)上.

   （Ⅰ）求证：数列{x_n}是等比数列；

   （Ⅱ）设满足

y_s=,y_t=（s,t∈N，且s≠t）共中a为常数，且1<a<,试判断，是否存在自然数M，使当n>M时，x_n>1恒成立？若存在，求出相应的M；若不存在，请说明理由.

（本小题满分14分）已知函数f(x)=ae^x，g(x)= lna-ln(x +1)（其中a为常数，e为自然对数底），函数y =f(x)在A(0，a)处的切线与y =g(x)在B(0，lna)处的切线互相垂直.

  (Ⅰ) 求f(x) ，g(x)的解析式；

  (Ⅱ) 求证：对任意n ÎN^*，    f(n)+g(n)>2n；

  (Ⅲ) 设y =g(x-1)的图象为C₁，h(x)=-x²+bx的图象为C₂，若C₁与C₂相交于P、Q，过PQ中点垂直于x轴的直线分别交C₁、C₂于M、N，问是否存在实数b，使得C₁在M处的切线与C₂在N处的切线平行？说明你的理由.