（本小题满分14分）已知函数f(x)=ae^x，g(x)= lna-ln(x +1)（其中a为常数，e为自然对数底），函数y =f(x)在A(0，a)处的切线与y =g(x)在B(0，lna)处的切线互相垂直.

  (Ⅰ) 求f(x) ，g(x)的解析式；

  (Ⅱ) 求证：对任意n ÎN^*，    f(n)+g(n)>2n；

  (Ⅲ) 设y =g(x-1)的图象为C₁，h(x)=-x²+bx的图象为C₂，若C₁与C₂相交于P、Q，过PQ中点垂直于x轴的直线分别交C₁、C₂于M、N，问是否存在实数b，使得C₁在M处的切线与C₂在N处的切线平行？说明你的理由.

（本小题满分14分）已知函数f(x)=ae^x，g(x)= lna-ln(x +1)（其中a为常数，e为自然对数底），函数y =f(x)在A(0，a)处的切线与y =g(x)在B(0，lna)处的切线互相垂直.

  (Ⅰ) 求f(x) ，g(x)的解析式；

  (Ⅱ) 求证：对任意n ÎN^*，    f(n)+g(n)>2n；

  (Ⅲ) 设y =g(x-1)的图象为C₁，h(x)=-x²+bx的图象为C₂，若C₁与C₂相交于P、Q，过PQ中点垂直于x轴的直线分别交C₁、C₂于M、N，问是否存在实数b，使得C₁在M处的切线与C₂在N处的切线平行？说明你的理由.

（本小题满分14分）

设定义在区间上的函数的图像为C，点A、B的坐标分别为且为图像C上的任意一点，O为坐标原点，当实数满足时，记向量恒成立，则称函数在区间上可在标准k下线性近似，其中k是一个确定的正数。

（Ⅰ）求证：A、B、N三点共线

（Ⅱ）设函数在区间[0，1]上可的标准k下线性近似，求k的取值范围；

（Ⅲ）求证：函数在区间上可在标准下线性近似。

（参考数据：e=2.718,ln（e-1）=0.541）