已知函数f（x）=x²+mx+nlnx（x＞0，实数m，n为常数）．
（1）若n+3m²=0（m＞0），且函数f（x）在x∈[1，+∞）上的最小值为0，求m的值；
（2）若对于任意的实数a∈[1，2]，b-a=1，函数f（x）在区间（a，b）上总是减函数，对每个给定的n，求m的最大值h（n）．

已知函数f（x）=a^x+b（a＞0，a≠1）的图象如图所示，数列{a_n}的前n项的和S_n=aⁿ⁺¹+b、T_n为数列{b_n}的前n项的和．且Tn=

2(n=1) -10n2-6n+2(n≥2)

（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）找出所有满足：a_n+b_n+8=0的自然数n的值（不必证明）；
（3）若不等式S_n+b_n+k≥0对于任意的n∈N^*．n≥2恒成立，求实数k的最小值，并求出此时相应的n的值．

已知函数f(x)=

e-x-2，(x≤0) 2ax-1，(x＞0)

（a是常数且a＞0）．对于下列命题：
①函数f（x）的最小值是-1；
②函数f（x）在R上是单调函数；
③若f（x）＞0在[

1

2

，+∞)上恒成立，则a的取值范围是a＞1；
④对任意x₁＜0，x₂＜0且x₁≠x₂，恒有f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

．
其中正确命题的序号是．

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+a²在x=1处取得极值4，且|a|＜|b|．
（1）求a、b的值，并确定f（1）是函数的极大值还是极小值；
（2）若对于任意x∈[0，2]的时，都有x³+ax²+bx＞c²+6c成立，求c的取值范围．

已知函数f（x）=lnx-

1

2

ax²+bx（a＞0），且f′（1）=0
（1）试用含有a的式子表示b，并求f（x）的单调区间；
（2）设函数f（x）的最大值为g（a），试证明不等式：g（a）＞ln（1+

a

2

）-1
（3）首先阅读材料：对于函数图象上的任意两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂），如果在函数图象上存在点M（x₀，y₀）（x₀∈（x₁，x₂）），使得f（x）在点M处的切线l∥AB，则称AB存在“相依切线”特别地，当x₀=

x1+x2

2

时，则称AB存在“中值相依切线”．请问在函数f（x）的图象上是否存在两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），使得AB存在“中值相依切线”？若存在，求出一组A、B的坐标；若不存在，说明理由．