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    对无穷多个正整数成立. 2005年中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    无穷多个正整数组成（公差不为零的）等差数列，则此数列中（　　）

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    无穷多个正整数组成(公差不为零的)等差数列，则此数列中

    [　　]
    A．

    必有一项为完全平方数

    B．

    必有两项为完全平方项

    C．

    不能有三项为完全平方项

    D．

    若有平方项，则有无穷多项为完全平方项

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    证明：对任给的奇素数p，总存在无穷多个正整数n使得p|（n2n-1）．

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    设函数f (x)的定义域为M，具有性质P：对任意x∈M，都有f (x)＋f (x＋2)≤2f (x＋1).
    （1）若M为实数集R，是否存在函数f (x)＝ax (a＞0且a≠1，x∈R) 具有性质P，并说明理由；
    （2）若M为自然数集N，并满足对任意x∈M，都有f (x)∈N. 记d(x)＝f (x＋1)－f (x).
    (ⅰ) 求证：对任意x∈M，都有d(x＋1)≤d(x)且d(x)≥0；
    (ⅱ) 求证：存在整数0≤c≤d(1)及无穷多个正整数n，满足d(n)＝c.

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    设函数f (x)的定义域为M，具有性质P：对任意x∈M，都有f (x)＋f (x＋2)≤2f (x＋1).

    （1）若M为实数集R，是否存在函数f (x)＝ax (a＞0且a≠1，x∈R) 具有性质P，并说明理由；

    （2）若M为自然数集N，并满足对任意x∈M，都有f (x)∈N. 记d(x)＝f (x＋1)－f (x).

    (ⅰ) 求证：对任意x∈M，都有d(x＋1)≤d(x)且d(x)≥0；

    (ⅱ) 求证：存在整数0≤c≤d(1)及无穷多个正整数n，满足d(n)＝c.

     

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