已知如图，抛物线y=ax²+bx+2与x轴的交点是A（3，0）、B（6，0），与y轴的交点是C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设P（x，y）（0＜x＜6）是抛物线上的动点，过点P作PQ∥y轴交直线BC于点Q．
①当x取何值时，线段PQ的长度取得最大值，其最大值是多少？
②是否存在这样的点P，使∠OQA为直角？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（2012•湛江二模）已知抛物线y²=mx（m＞0，m为常数）的焦点是F（1，0），P（x₀，y₀）是抛物线上的动点，定点A（2，0）．
（1）若x₀＞2，设线段AP的垂直平分线与x轴交于Q（x₁，O），求x₁的取值范围；
（2）是否存在垂直于x轴的定直线l，使以AP为直径的圆截l得到的弦长为定值？若存在，求其方程，若不存在，说明理由．

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y²=2x的焦点为F．设M是抛物线上的动点，则

MO

MF

的最大值为．

设抛物线y=x²过一定点A （-a，a²）（a＞

2

），P（x，y）是抛物线上的动点．
（I）将

AP

2表示为关于x的函数f（x），并求当x为何值时，f（x）有极小值；
（II）设（I）中使f（x）取极小值的正数x为x₀，求证：抛物线在点P₀（x₀，y₀）处的切线与直线AP₀垂直．