椭圆的左、右焦点分别为，一条直线经过点与椭圆交于两点．

⑴求的周长；

⑵若的倾斜角为，求的面积．

【解析】（1）根据椭圆的定义的周长等于4a.

（2）设,则,然后直线l的方程与椭圆方程联立，消去x，利用韦达定理可求出所求三角形的面积.

已知曲线上动点到定点与定直线的距离之比为常数．

（1）求曲线的轨迹方程；

（2）若过点引曲线C的弦AB恰好被点平分，求弦AB所在的直线方程；

（3）以曲线的左顶点为圆心作圆：，设圆与曲线交于点与点，求的最小值，并求此时圆的方程.

【解析】第一问利用（1）过点作直线的垂线，垂足为D.

代入坐标得到

第二问当斜率k不存在时，检验得不符合要求；

当直线l的斜率为k时，；，化简得

第三问点N与点M关于X轴对称，设，， 不妨设．

由于点M在椭圆C上，所以．

由已知，则

，

由于，故当时，取得最小值为．

计算得，，故，又点在圆上，代入圆的方程得到．  

故圆T的方程为：

已知=，= ，=，设是直线上一点，是坐标原点.

⑴求使取最小值时的；  ⑵对（1）中的点，求的余弦值.

【解析】第一问中利用设，则根据已知条件，O,M，P三点共线，则可以得到x=2y,然后利用

可知当x=4,y=2时取得最小值。

第二问中利用数量积的性质可以表示夹角的余弦值，进而得到结论。

（1）、因为设则

可知当x=4,y=2时取得最小值。此时。

（2）