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    复合法:其判别法则是增函数的增函数是增函数,增函数的减函数是减函数,减函数的增函数是减函 数, 减函数的减函数是增函数. 简言为:增·增增,增·减减, 减·增减,减·减增. 可类比乘法符号法则来记忆: =(-), =(+), 例如.求函数的单调性. 解:先作复合映射 函数u=x2-2x在上是减函数.且u∈[0.+∞],而函数在[0.+∞]上是增函数. 因为减函数的增函数是减函数.所以函数在(-∞.0]上是减函数. 同理.可得函数在[2.+∞]上是增函数. [评注] 函数单调性的主要问题是求函数的单调区间和增减性.上面指出的三个判别法──定义法.图象法和 复合法 就是求单调递增区间或递减区间的基本方法. 第二阶梯 [例4]根据函数单调性定义.证明函数上是增函数. [证明]设x2>x1≥2.则 [例5]根据函数单调性定义.证明函数在定义域上是减函数. [证明]由3-x≥0得x≤3. ∴函数f(x)的定义域是(-∞.3] 设.则 --① ∵x1<x2≤3. ∴ . ∴由①得 ∴ 在其定义域上是减函数. [评注] 要注意严格按“定义法 证明的三步骤进行:在第一步中.应设.如果设成“x1<x2 或设 成“x1<x2<3 都是错误的.在第二步中.作差f(x1)-f(x2) .要化成容易“定号 的形式.本题在①处 用 了“分子有理化 的技巧!应注意学会: . 在第三步中.一定要根据定义作出明确的结论. [例6]试总结下列函数的单调性: (1) (2) [解] 在上是增函数,当k<0时.f上是减函数. 在(-∞. )上是减函数.在[ .+∞]上是增函数. 第三阶段 [例7]求下列函数的单调区间.并指出增减性: (1) , (2) . [探路]化归为基本函数.用复合法解. [解] (1)函数的定义域是 .根据函数 和的单调性.得函数 的单调递增区间是: . 的单调递增区间是: . (2)函数 的定义域是 .作出该函数的图象如图1中的实线.由图可知: 函数的单调递减区间是: ,单调递增区间是: . [评注] 求函数的单调区间有定义法.图象法.复合法.把复杂的函数化归为基 本 函数的性质和图象来解决.但要注意选择快法.如本例之(2)用图象法是 “快法 .其中画图只需画草图.一分钟即可画出.如用“复合法 解(2) 也可以成功.但很慢.且容易求错. 例8:已知函数上是增函数.求实数a的取值范围. [探路] 画出二次函数的草图.用二次函数的单调界点来列a的不等式. [解]如草图2.抛物线顶点横坐标为 .函数是增函数的条件是 . 解得a的取值范围:a≤2. [例9]根据函数单调性定义.证明函数上是减函数. [探路] 严格按照“根据定义证明单调性 的三个步骤来证明.特别注意难点是的“定号 . 由于 .需证恒为正数.于是想到配方: 但x1x2的符号不定.所以思路受阻.进而自我调节.产生各种思路: 思路一:分类讨论. 思路二:重新配方.看能否不分类就能确定符号. [证法一] 任取x1<x2.则 其中 的符号: 当x1x2≥0时.由x1<x2x1.x2中至少有一个非零 当x1x2<0时.由-x1x2>0 ∴对任意的x1<x2.恒有 又由 ∴. ∴函数上是减函数. [证法二]我们只证明:当x1<x2时..其余过程同证法一. 当且仅当时.即x1=x2=0时.上式等于零.因为x1≠x2.所以恒成立. [评注] 本题的证明方法一──分类法是排除解题受阻的一个通法.由于分类标准的不同.本题有许多证法. 请你发现几个不同的分类证法. 本题证明方法二是反分类.是本题最简捷的证法. 由本题可知.任意不等二实数a.b.恒有. [例10]判断函数 的奇偶性. 思路分析: 该题为分段函数.可分x<0和x>0两部分考察 的关系.从而确定函数的奇偶性. 解:∵函数 的定义域 综上.对任意x∈均有f,所以函数f(x)为奇函数. 说明:本题关键要分段研究f的关系. [例11]证明函数 思路分析: 证明 证明:函数的定义域为实数.且 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    下列函数在其定义域上是增函数的是（　　）

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    已知f（x）=lnx-ax2-bx（a≠0），
    （1）若a=-1，函数f（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围．
    （2）在（1）的结论下，设g（x）=e2x+bex，x∈[0，ln2]，求函数g（x）的最小值；
    （3）设各项为正的数列{an}满足：a1=1，an+1=lnan+an+2，n∈N*，求证：an≤2n-1．

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    已知函数f（x）=ax2-3x+4+2lnx（a＞0）．
    （Ⅰ） 当a=
    1
    2
    时，求函数f（x）在[
    1
    2
    ，3]    上的最大值；
    （Ⅱ） 若f（x）在其定义域上是增函数，求实数a的取值范围．

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    （2010•邯郸二模）设函数f（x）=lnx-
    a(x-1)
    x+1
    （a∈R）．
    （Ⅰ）若函数f（x）在其定义域内是增函数，求a的取值范围；
    （Ⅱ）设G（x）=x2-bx+2-clnx（c＞0），方程G（x）=0有两根x1，x2，记x0=
    x1+x2
    2
    ．试探究G′（x0）值的符号，其中G′（x）是G（x）的导函数．

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    若函数y=（a+1）x+b，x∈R在其定义域上是增函数，则（　　）

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