已知函数f（x）=3^x+3^-x，g（x）=

x

2

+log₃（1+3^-x）．
（1）用定义证明：函数g（x）在区间（-∞，0]上为减函数，在区间[0，+∞）上为增函数；
（2）判断函数g（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（3）若g（x）≤

1

2

log₃f（x）+a对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围．