已知椭圆C的两个焦点为F₁（-1，0）、F₂（1，0），离心率e=

1

2

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N（M、N不是左、右顶点），且以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点A．求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．

如图，椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）和圆C₂：x²+y²=b²，已知圆C₂将椭圆C₁的长轴三等分，椭圆C₁右焦点到右准线的距离为

2

4

，椭圆C₁的下顶点为E，过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆C₂相交于点A、B．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）若直线EA、EB分别与椭圆C₁相交于另一个交点为点P、M．
①求证：直线MP经过一定点；
②试问：是否存在以（m，0）为圆心，

3 2

5

为半径的圆G，使得直线PM和直线AB都与圆G相交？若存在，请求出所有m的值；若不存在，请说明理由．

如图，F₁，F₂为椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，D，E是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率e=

3

2

，S△DEF2=1-

3

2

．若点M（x₀，y₀）在椭圆C上，则点N（

x0

a

，

y0

b

）称为点M的一个“椭点”．直线l与椭圆交于A，B两点，A，B两点的“椭点”分别为P，Q，已知以PQ为直径的圆经过坐标原点O．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）△AOB的面积是否为定值？若为定值，试求出该定值；若不为定值，请说明理由．

如图，椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）和圆C₂：x²+y²=b²，已知圆C₂将椭圆C₁的长轴三等分，椭圆C₁右焦点到右准线的距离为

2

4

，椭圆C₁的下顶点为E，过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆C₂相交于点A、B．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）若直线EA、EB分别与椭圆C₁相交于另一个交点为点P、M．
①求证：直线MP经过一定点；
②试问：是否存在以（m，0）为圆心，

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为半径的圆G，使得直线PM和直线AB都与圆G相交？若存在，请求出所有m的值；若不存在，请说明理由．