(一)“相等与“不等的关系 “相等和“不等是现实世界物质形式中量与量的两种重要的关系.它们是相互关联.相互依存的.在一定的条件下.互相转化.在数学学习过程中.要注意“相等与“不等的相互关系.抓住实质性联系.通过“相等与“不等的转化.找到解决问题的途径.达到解决问题的目的.为便于说明.举例如下: 1.“相等与“不等相互转化. a)“相等向“不等的转化例1 在ΔABC中.已知lgtgA+lgtgc=2lgtgB.求证:≤B＜. 这个问题的已知是三角形中量的一种相等关系.要求从相等的条件出发.去推证出关于另一 (些)量的不等关系.虽说本题考查的是对数.三角函数.不等式的一些相关基础知识.并要求把分析法.综合法加以综合运用.但问题的实质却是某种“相等关系向“不等关系的转化.抓住这一实质特征.就可以找到解决问题的方法.当然要熟练掌握对数.三角函数及不等式的知识.在这里根据题意激活知识也是必不可少的. 简解:lgtgA+lgtgC=2lgtgB=lgtgA·tgctg2B=tgA·tgc tgB=tg=- ∴tgA+tgC=tgB(tg2B-1) ∵tgA+tgC≥2=2tgB 即 tg2B-1≥2 ∴tgB≥ ∵B≥-- 这里.抓住了tg2B=tgA·tgC这一相等关系及tgB=-隐含关系.通过tgA+tgC≥2这一恒成立的不等式得出关于tgB的不等式.求解即得结论. b)“不等向“相等的转化. ⅰ)由实数理论知:若a≥b且a≤b则必有a=b.这是由“不等变为“相等的典型模型.在数学运算中经常用到.例如:由(x-y)2≤0及隐含条件(x-y)2≥0可以导出(x-y)2＝0 ⅱ)添加变量使“不等变“相等 .例如:由x+y＞0y＞-x可含y=-x+t.这里t＞0.从而把x,y的“不等关系转化为某种“相等关系. 例2 已知a.b.c∈R.函数f(x)=ax2+bx+c.g(x)=ax+b .当-1≤x≤1时.f(x)≤1 (1)证明:当|x|≤1时.|g(x)|≤2 (2)设a＞0.当|x|≤1时.g. 本题综合了函数.方程.不等式的知识与方法.由于是以证明不等式为主.对逻辑思维和推理论证能力的要求很高.难度很大.它以二次函数和一次函数为载体.侧重考查函数的概念.含绝对值的不等式的性质.函数的单调性等数学知识的综合灵活运用.并利用函数作为材料.考查恒等变形.放缩变形的方法和技能.等式和不等式的联系和转化.这里仅剖析第(2)小题. 已知告诉我们:对一切x∈［-1,1］.g(x)≤2恒成立.这是不等的关系.由此要得出f(x)的表达式.即给出一组值.使之分别与a.b.c相等.很明显是“不等向“ 相等的转化. 简解如下: ∵a＞0.∴g(x)=ax+b是［-1,1］上的增函数.当x=1时.g(x)max=g(1) 即:a+b=g ① ∵-1≤f-2≤1-2≤-1 ∴c=f(0)=-1 ∵当-1≤x≤1 时f≥f(0) ∴直线x=0是抛物线y=f(x)的对称轴.由此可得-=0.即b=0代入①得a=2 ∴f(x)=2x2-1 2.“相等与“不等的构造从上可以看出.“相等向“不等的转化.其关键之处在于构建出相关的不等关系.再将这个不等关系向目标作进一步的变形处理即可. a)在“相等关系中构造出“不等关系 : 途径:①利用重要不等式:ⅰ)a2+b2≥2ab ⅱ)a.b.c∈R+. a+b≥2.a+b+c≥3 ⅲ)+≥2等等 ②利用函数单调性:f(x)是区间I上的增函数.若x1.x2∈I.则f(x2 )＜f(x1),f(x)是区间I上的减函数.若x1.x2∈I.则f(x1)＞f(x2), ③利用等量关系中的隐含条件.如 y= x2+y2=a2 例3 已知a.b为正数.且a+b=1.求证(a+)2+(b+)2≥(). 证明一因a.b为正数.a+b=1.于是 (a+)2+(b+)2 =(a+)2+(b+)2 =(a+1+)2+(b+1+)2 =a2+1++2a+2b+2·+b2+1++2b+2a+2· =6+(a2+b2)+( +)+2(+) =6+(a+b)2-2ab+()+2()+≥13-2ab 由≤=得,ab≤ 所以13-2ab≥ 故 (a+)2+(b+)2≥(当且仅当a=b=时取等号). 证明二由定理a2+b2≥2ab,易得a2+b2≥,于是 (a+)2+(b+)2≥(a++b+)2 =+)2= (1 +)2 由 ≤=,得ab≤又有,即≥4 例4 求满足(x2+2x+3)(y2+1)=2的实数x,y 解:∵x2+2x+3=(x+1)2+2≥2 y2+1≥1 ∴(x2+2x+3)(y2+1)≥2 当且仅当x2+2x+3=2,y2+1=1时成立解之得x=-1且y=0 b)在“不等关系中构造“相等关系. 途径:①设元构造.例:x2+y2≤1 ②数形结合.构造函数.例:≥x可设y1= ,y2=x 例5 求证: 证明:∵2n=(1+1)n＝1+n++- ∴n≥2.n∈N,右端展开式中的各项为正 ∴2n＞即＜例6 为使不等式x2+4xy+4y2+10x+ay+b＞0对任意实数x.y恒成立.求实数a.b应满足的条件. 解:为使不等式恒成立.须且仅须x2+4xy+4y2+10x+ay+b为一个实数的平方加上一个正增量t.可令x2+4xy+4y2+10x+ay+b=2+t=x2+4xy+4y2+2mx+4my+m2+t 根据多项式相等的条件有: 所以当a=20,b＞25时.原不等式恒成立. 例7 已知x2+y2≤1.求x+y的最大值. 分析:这里.量x+y与x2+y2的直接关系可以通过2(x2+y2)≥(x+y)2得出.还可以通过换元令x=rcosθ.y=rsinθ.则有r2≤1 ∴0≤r≤1 ∴x+y=rcosθ+rsinθ=rsin(θ+)≤r≤得出. 3.由不等进行估算估计变数或式子的取值范围.对某些数学问题能起到挖掘隐含信息.找到思维的切入点.从而使困难的问题迎刃而解. 例8 求解方程组这是二个方程三个变量的方程组.按常规似乎有无数个解.但可对xy进行估算.可知xy＞9 .否则z2＜0,x+y＞0 ∵x＞0,且y＞0且6=x+y≥2?xy≤9故z2=xy-9≤9-9=0 ∴z=0且x=y=3 4.由不等推出矛盾: 反证法是“数学家最精良的武器之一 .它在数学解题中确有奇效.若能有意识地挖掘问题中潜在的不等关系.使两者联手.往往可以及时找到矛盾点--由不等导出矛盾. 例9 已知锐角α.β满足+=2.求证α+β＝证明:假设α+β＞.则α＞-β.β ＞-α ∵α.β.-2.-βε(0.) ∴cosα＜cos(-β)＝sinβ cosβ＜cos(-α)=sinα 从而2=+＜=2矛盾故α+β≤.同理α+β≥.∴α+β= 【查看更多】

给出下列命题：