(二)不等式与函数.方程的关系前面谈到“不等与“相等的相互依存.转化.在不等式与函数.方程中尤为突出. 1.一元二次不等式与二次函数.一元二次方程的关系 (1)一元二次方程的根(二次——青夏教育精英家教网—

(二)不等式与函数.方程的关系前面谈到“不等与“相等的相互依存.转化.在不等式与函数.方程中尤为突出. 1.一元二次不等式与二次函数.一元二次方程的关系 (1)一元二次方程的根(二次函数图像与x轴交点的横坐标)是对应一元二次不等式解集的端点值.由此可引申出解一元高次不等式的“根轴法 .可以由数形结合.根据函数图像求不等式的解集. (2)方程的条件根问题可以借助所设辅助函数与关于函数值的不等式.得出等价转化. 例10 解不等式＜2logax-1. 本小题主要考查对数函数的性质.对数不等式.无理不等式解法等基础知识.考查分类讨论的思想. 解原不等式等价于由①得 logax≥, 由②得 logax＜,或logax＞1 由③得 logax＞. 由此得 ≤logax＜,或logax＞1 当a＞1时得所求的解是{x|}∪{x|x＞a|}; 当0＜a＜1时得所求的解集是 {x|}∪{x|0＜x＜a} 2.不等式与函数最值 (1)求函数的最大值与最小值涉及的范围极为广泛.可使用的方法很多.代数的.三角的.几何的问题中都有大量的求最值问题.求函数的值域也常归结为函数的最值,许多实际问题的应用题也能利用最值解决. 而最值问题往往归结为不等问题.用不等式的性质以及求解不等式的方法都可用于解决最值问题.代数课本上册P26例2实际上是两个极值定理.有着广泛的应用价值.(课本上虽为二个正数.但可推广到三.四个及多个的情形)在利用它解决问题时.要注意三个条件“一正 .二定.三能等即:①这几个数都必须是正数.例如:当xy=4.如果没有x.y都为正数这个条件.就不能说x+y有最小值4.因为若x=y=-2虽满足xy=4但x+y=-4＜4.②这几个数必须满足条件“和为定值或“积为定值 .如果找不出“定值这个条件.就不能应用这两个定理.例如:当x＞0时.求y=x2+的最小值.若写成y=x2+≥2(等号当且仅当x2=即x=1时ymin=2=2)则最小值为2.这是错误的. 而应该是这样的:由于x2·为定值. 故y=x2+=x2+=.即ymin＝ (显然()3=＜8 即＜2 ③要保证等号能成立.如果等号不能成立.则求出的仍不是最值.例如:当0＜x＜时求y=sinx+的最小值.尽管y=sinx+≥2=4.但ymin＝4是错误的.因为当sinx=时可推出sinx=2不成立.这只能说y＞ 4恒成立.因此ymin＞4必成立.实际上由y=t+在(0.1］上是单调减函数可知.当sinx=1时ymin=5 (2)不等式与二次函数y=ax2+bx+c的最值 x∈R时 ①当a＞0时.x=-时.ymin=,当a＜0.x=-时ymax= ②当xε［m,n］时.易画出图像“看图说话 . 例11 若a＞0.y=ax2+bx+c的最值如下表 n≤- m≤-≤ ＜-≤n m≥- 最大值 f(m) f(m) f(n) f(n) 最小值 f(n) f(-) f(-) f(m) 当a＜0时.可依上表写出类似结论. (3)重要函数y=x+.的单调性. 利用不等式的性质可证明.y=x+在(o.)上是减函数.在 QS［.+∞)上是增函数. 例12 已知f(x)=x2+ax+b,-1≤x≤1,若|f(x)|的最大值是M.证明:M≥. 证明抛物线f(x)=x2+ax+b的顶点坐标是(-,),且f=-a+b+1. (1)若|-()|＞1.则M应是|f|中最大的一个. | f-f(-1)|=2|a|＞4 得|f|中必有一个大于者. (2)若|-|≤1.则M应是|f|.||中最大的一个. ①若b≥-,则|f+f(-1)|＝|2+2b|≥1, 故在|f|中必有一个大于等于. ②若b＜-.则△=a2-4b＞0,||=-b≥-b＞,故必有M＞. 综上.M≥总成立. 【查看更多】

题目列表(包括答案和解析)

函数y=f(x)在区间(0,+∞)内可导,导函数f′(x)是减函数,且f′(x)＞0,设x₀∈(0,+∞),y=kx+m是曲线y=f(x)在点(x₀,f(x₀))处的切线方程,并设函数g(x)=kx+m.

(1)用x₀、f(x₀)、f′(x₀)表示m;

(2)证明当x₀∈(0,+∞)时,g(x)≥f(x);

(3)若关于x的不等式x²+1≥ax+b≥在上恒成立,其中a、b为实数，求b的取值范围及a与b 所满足的关系.

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（05年辽宁卷）（12分）

函数在区间内可导，导函数是减函数，且．设，是曲线在点处的切线方程，并设函数．

（Ⅰ）用、、表示m；

（Ⅱ）证明：当，；

（Ⅲ）若关于x的不等式在上恒成立，其中a、b为实数，求b的取值范围及a与b所满足的关系．

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函数y=f（x）在区间（0，+∞）内可导，导函数f'（x）是减函数，且f′（x）＞0。设x₀∈（0，+∞），y=kx+m是曲线y=f（x）在点（x₀，f（x₀））的切线方程，并设函数g（x）=kx+m。
（1）用x₀、f（x₀）、f′（x₀）表示m；
（2）证明：当x₀∈（0，+∞）时，g（x）≥f（x）；
（3）若关于x的不等式x²+1≥ax+b≥