已知函数fn(x)=

ln(x+n)-n

x+n

+

1

n(n+1)

（其中n为常数，n∈N^*），将函数f_n（x）的最大值记为a_n，由a_n构成的数列{a_n}的前n项和记为S_n．
（Ⅰ）求S_n；
（Ⅱ）若对任意的n∈N^*，总存在x∈R⁺使

x

ex-1

+a=an，求a的取值范围；
（Ⅲ）比较

1

en+1+e•n

+fn(en)与a_n的大小，并加以证明．

已知函数fn(x)=

ln(x+n)-n

x+n

+

1

n(n+1)

（其中n为常数，n∈N^*），将函数f_n（x）的最大值记为a_n，由a_n构成的数列{a_n}的前n项和记为S_n．
（Ⅰ）求S_n；
（Ⅱ）若对任意的n∈N^*，总存在x∈R⁺使

x

ex-1

+a=an，求a的取值范围；
（Ⅲ）比较

1

en+1+e•n

+fn(en)与a_n的大小，并加以证明．

已知函数f(x)=

a(x-1)2+1

bx+c-b

（a、b、c∈N）的图象按向量

e

=(-1，0)平移后得到的图象关于原点对称，且f（2）=2，f（3）＜3．
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）设x是正实数，求证：[f（x+1）]ⁿ-f（xⁿ+1）≥2ⁿ-2．

已知函数f（x）=ax²+lnx（a∈R）．
（1）当a=

1

2

时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；
（2）如果函数g（x），f₁（x），f₂（x），在公共定义域D上，满足f₁（x）＜g（x）＜f₂（x），那么就称g（x）为f₁（x），f₂（x）的“活动函数”．已知函数f1(x)=(a-

1

2

)x2+2ax+(1-a2)lnx，f2(x)=

1

2

x2+2ax．若在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f₁（x），f₂（x）的“活动函数”，求a的取值范围．

（2006•奉贤区一模）已知函数f(x)=a+

x2+ax+b

（a，b为实常数），若f（x）的值域为[0，+∞），则常数a，b应满足的条件．