(本小题满分12分)若对于正整数、表示的最大奇数因数，例如，，并且,设

（1）求S₁、S₂、S₃    ； 

（2）求；

（3）设，求证数列的前顶和．

已知数列单调递增,且各项非负.对于正整数,若任意的,仍是中的项,则称数列为“项可减数列”.

(Ⅰ)已知数列是首项为2,公比为2的等比数列,且数列是“项可减数列”,试确定的最大值.

(Ⅱ)求证:若数列是“项可减数列”,则其前项的和.

(Ⅲ)已知是各项非负的递增数列,写出(Ⅱ)的逆命题,判断该逆命题的真假,并说明理由.

(本小题满分16分)

已知数列单调递增,且各项非负.对于正整数,若任意的,仍是中的项,则称数列为“项可减数列”.

(Ⅰ)已知数列是首项为2,公比为2的等比数列,且数列是“项可减数列”,试确定的最大值.

(Ⅱ)求证:若数列是“项可减数列”,则其前项的和.

(Ⅲ)已知是各项非负的递增数列,写出(Ⅱ)的逆命题,判断该逆命题的真假,并说明理由.

设无穷数列  的各项都是正数,  是它的前  项之和, 对于任意正整数 , 与 2 的等差中项等于  与 2 的等比中项, 则该数列的通项公式为 _______.