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    评价:检验与评价结果是否符合实际. 例9.已知f(x+1)=x2-3x+2. , [探路]换元法:用凑法换元或设法换元. [解法一] (1)改写已知等式.并且凑法: f(t+1)=t2-3t+2=(t+1)2-5t+1=(t+1)2-5(t+1)+6. ∴f(x)=x2-5x+6 2-52-5(x+a)+6 =2x2-10x+2a2+12 [解法二] (1)把已知等式改写为 f(t+1)=t2-3t+2 设 t+1=x.则t=x-1 f2-3(x-1)+2=x2-5x+6 即f(x)=x2-5x+6 (2)同“解法一 [评注] 解法一是“凑法 .解法二是“设法 .它们都是换元法.选用哪个方法要由题目的条件来确定. 如本题解法二较好.但下面的例2用解法二却是不好的. 例10.已知.求f. [探路] 用凑法换元. [解]把已知式先改写.并用凑法: ∴ ∴f=-18 [评注] 本题用“设法 .即“设.解出t 是不好的.请你试试看. 例11.求下列函数的定义域: (1), (2) [解](1) ∴函数的定义域是∪. (2) ∴函数的定义域是 [评注] 在(1)中.解|x+1|-2≠0得x≠1 , x≠-3.如果写成“x≠1.或x≠-3 .这是错误的,应写成 “x≠1.且x≠3 .这是一个重要的逻辑思维问题.不要用错逻辑联结词“或 .“且 .写出 上面的x{1.-3}是最好的. 在(2)中.解时.先解方程.经检验x=-1是增根.应舍去. 所以得x≠2. 求定义域最关键问题是列出自变量可取值的充要条件组.在解析式上.目前应记准列条件组的下述 法则: 有分式--分母非零, 有偶次根式--被开方式非负, 有零指数幂--底非零. 例12.的定义域是[-1.2].求函数y=f的定义域. 的定义域是[-1.2].求函数y=f(x)的定义域. [探路] 利用函数的符号意义来求其自变量的取值范围.先改写已知定义域的函数的自变量. [解] 的定义域是[-1.2]. ∴-1≤t≤2. 对于函数y=f有意义.应有 . ∴函数y=f的定义域是[0.1]. 的定义域是[-1.2] ∴-1≤t≤2 ∴-3≤1-2t≤3 对于函数f(x)的自变量x=1-2t∈[-3.3] ∴函数y=f(x)的定义域是[-3.3] [评注] 本题就是“抽象问题 .求抽象函数的定义域要由函数符号的意义来确定.其关键是抓住“谁是自 变量 .求定义域就是求自变量的取值范围.以本题之(2)为例:首先要弄清f是两个 不同的函数,因为它们的自变量都表示为x.为了防止混淆.把已知函数f.这 样函数f的自变量为t∈[-1,2].所求函数f(x)的自变量为x.再由x=1-2t , t∈[-1 , 2].求 得x∈[-3.3].即得f(x)的定义域.函数y=f和函数x=1-2t的“复合 .中学 所遇到的“抽象函数问题 就是这种复合函数的符号问题. 例13.求函数的值域. [探路]用“不等式法 或“反解法 . [解法一]用“不等式法 : 由x≠3得≠0(即) ∴y≠2.即得函数y的值域:{y|y∈R.且y≠2}. [解法二]用“反解法 .即“解x法 : ① 关于自变量x的方程①有x≠3的解y≠2. ∴函数y的值域是{y|y∈R.且y≠2} [评注] “不等式法 .已在前面说过.通过本例加以熟练. “反解法 就是把函数y=f等价地化为关于自变量x的方程.求值域就是求 该方程在定义域上有解的充要条件.但不必求出x.只要用各种方法消去x.用y表出这个充要条件.即可 解得值域.当这个充要条件可用判别式表出.那么.这种“反解法 就叫做“判别式法 .当这个充要条 件不能用判别式表出.即是判别式法失效! 例14.求函数的值域. [探路]用“判别式法 [解]该函数的定义域A=R ① (1)当y=0时.①x=0∈A.∴有y=0 (2)当y≠0时.①有实数解△=1-4y2≥0 Û. 由.得函数值域为[]. [评注] 判别式法应用在二次方程中.所以应注意讨论方程①是否为二次方程.因此本题要分类讨论. 本题“判别式法 有效.是因为二次方程①的根x∈R.没有限制.对于根x有限制的二次方程.△≥0 只是有实数根的必要条件.还要补加其它条件.使之成为充要条件才能求得值域.否则.要改用其他方法. 例15.求函数的值域. [探路]用换元法.设.则x可用t的有理式表示.从而化为二次函数的值域问题. [解]设.则t∈[0.+∞).x=1+t2 ∴ ∴ ∴函数的值域是[). [评注] 用换元法.必须注意:不但解析式要完全化为新元的函数.而且要求出新元的取值范围(新函数的定 义域).即建立完整的新函数.如本例的新函数是.t∈[0.+∞].否则.换元不等 价.容易造成错误. 例16.x为何值时.|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-5|的值最小?并求出这个最小值. [探路] 显然.这是求函数. f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-5| 的值域问题.用分类法是可以解决的.但要分为五种情况.太麻烦了. 于是想用图象法来解.试试看.能不能非常简单.还有没有更妙的解法? [解法一] 这个函数的图象是折线.其最小值必在折点上取得.于是计算四个折点的函数值: f=5 , f(5)=9 ∴f(x)的最小值为5.当x∈[2.3]时取得. [解法三]画数轴: 设动点P的坐标为x.A.B.C.D的坐标分别为1.2.3.5.则f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-5| =|PA|+|PB|+|PC|+|PD|=d 由图可知.当点P在线段BC上时.取得d0=|BC|+|AD|=1+4=5,当点P在线段BC的两侧延长线上时d>d0. ∴当x∈[2.3]时.取得f(x)min=5. [评注]解法一是图象法.但无需画图.其图象是开口向上的折线.在解题者的想象之中. 解法二是“图解法 --画数学式的几何图.图解法包括图象法.由本题.我们看到图解法包括: 图示法--画几何图或示意图 图解法是数形结合法. 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    高三年级在综合素质评价的某个维度的测评中，依据评分细则，学生之间相互打分，最终将所有的数据合成一个分数，满分100分．按照大于等于80分为优秀，小于80分为合格．为了解学生在该维度的测评结果，从毕业班中随机抽出一个班的数据．该班共有60名学生，得到如下的列联表．
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    （2）能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与测评结果有关系？
    （3）如果想了解全年级学生该维度的表现情况，采取简单随机抽样的方式在全校学生中抽取少数一部分人来分析，请你选择一个合适的抽样方法，并解释理由；
    （4）学生代表、教师代表、家长代表、教务员四人，分别对测评结果是优秀的20名学生进行检查，检查他们是否躲优秀的相4名检查人员各自纖立的舰20学生中随机抽取一名，设其中男生的人数为随机变量x，求随机变量x的分布列期望．

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    高三年级在综合素质评价的某个维度的测评中，依据评分细则，学生之间相互打分，最终将所有的数据合成一个分数，满分100分．按照大于等于80分为优秀，小于80分为合格．为了解学生在该维度的测评结果，从毕业班中随机抽出一个班的数据．该班共有60名学生，得到如下的列联表．

    （2）能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与测评结果有关系？
    （3）如果想了解全年级学生该维度的表现情况，采取简单随机抽样的方式在全校学生中抽取少数一部分人来分析，请你选择一个合适的抽样方法，并解释理由；
    （4）学生代表、教师代表、家长代表、教务员四人，分别对测评结果是优秀的20名学生进行检查，检查他们是否躲优秀的相4名检查人员各自纖立的舰20学生中随机抽取一名，设其中男生的人数为随机变量x，求随机变量x的分布列期望．

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    “根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20-80mg/100ml（不含80）之间，属于酒后驾车，血液酒精浓度在80mg/100ml（含80）以上时，属醉酒驾车．”某市交警在该市一交通岗前设点对过往的车辆进行抽查，经过一晚的抽查，共查出酒后驾车者60名，图甲是用酒精测试仪对这60 名酒后驾车者血液中酒精浓度进行检测后依所得结果画出的频率分布直方图．
    （1）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，图乙的程序框图是对这60名酒后驾车者血液的酒精浓度做进一步的统计，求出图乙输出的S值，并说明S的统计意义；（图乙中数据mi与fi分别表示图甲中各组的组中值及频率）
    （2）本次行动中，吴、李两位先生都被酒精测试仪测得酒精浓度属于70-90mg/100ml的范围，但他俩坚称没喝那么多，是测试仪不准，交警大队队长决定在被酒精测试仪测得酒精浓度属于70-90mg/100ml范围的酒后驾车者中随机抽出2人抽血检验，ξ为吴、李两位先生被抽中的人数，求ξ的分布列，并求吴、李两位先生至少有1人被抽中的概率；
    （3）很多人在喝酒后通过喝茶降解体内酒精浓度，但李时珍就曾指出酒后喝茶伤肾．为研究长期酒后喝茶与肾损伤是否有关，某科研机构采集了统计数据如下表，请你从条件概率的角度给出判断结果，并说明理由．
    没有肾损伤 有肾损伤
    长期酒后喝茶 2099 49
    酒后不喝茶 7775 42

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    在综合素质评价的某个维度的测评中，依据评分细则，学生之间相互打分，最终将所有的数据合成一个分数．满分100分，按照大于等于80分为优秀，小于80分为合格．为了解学生在该维度的测评结果，从毕业班中随机抽出一个班的数据．该班共有60名学生，得到如下的列联表．
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    已知在该班随机抽取1人测评结果为优秀的概率为
    13
    ．
    （1）请完成上面的列联表；
    （2））能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与测评结果有关系？
    （3）现在如果想了解全校学生该维度的表现情况，采取简单随机抽样的方式在全校学生中抽取少数一部分人来分析，请你选择一个合适的抽样方法，并解释理由．

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    调查某桑场采桑员和辅助工桑毛虫皮炎发病情况结果如下表：利用2×2列联表的独立性检验估计“患桑毛虫皮炎病与采桑”是否有关？认为两者有关系会犯错误的概率是多少？

     
    		采桑
    		不采桑
    		合计
    患者人数
    		18
    		12
    		 
    健康人数
    		5
    		78
    		 
    合计
    		 
    		 
    		 

    P(K2≥k)
    		0.050
    		0.010
    		0.001
    k
    		3.841
    		6.635
    		10.828

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