练习册

  • 练习册
  • 试题
    三次函数有什么性质?各系数对它的图象和性质有何影响?首先还得对它有感性的认识.通过Mathcad输入不同的参数进行探索.经过多次的实验.猜测.归纳发现它的图象有六种.如图: 图(2) 图(1) 图(4) 图(3) 图(5) 图(6) 通过观察图象.学生很容易发现图中最明显的特点就是极值点的个数与单调性.自然想到函数的导数.于是引导学生对函数进行求导: 是二次函数.原函数的极值点与单调性与导函数的正负有关.所以容易发现导函数中的参数与的符号起决定性作用.当为正时.原函数的图象应为上图中的三种情况,而当为负时.原函数的图象则为三种情况.当时.二次方程有两相异实根.且在的两边的符号相反.故函数存在两个极值点.图象为上图中的两种,当时.二次方程有两相等实根.且在根的两边的符号相同.这时函数只存在驻点.函数的图象为上图中两种.当时,方程无实根.的值恒为正.函数的图象为上图中的两种. 仔细观察图象,我们还不难发现三次函数是中心对称曲线.这一点可以得到进一步的验证:设.得 整理得..据多项式恒等对应系数相等,可得且.从而三次函数是中心对称曲线.且由知其对称中心仍然在曲线上.而是否具有特殊的意义?对函数进行两次求导.再令等于0.得,恰好是对称中心的横坐标.这可不是巧合.因为满足的正是函数拐点的横坐标.这一性质刚好与图象吻合.除此.三次函数的对称中心还有一个很少引起注意的性质---过三次曲线的对称中心且与该三次曲线相切的直线有且仅有一条,而过三次曲线上除对称中心外的任一点与该三次曲线相切的直线有二条. 由于三次曲线都是中心对称曲线.因此.将其对称中心移至坐标原点便可将三次函数的解析式简化为. 若M(x1.y1)是三次曲线上的任一点.设过M的切线与曲线y=f(x)相切于(x0.y0).则切线方程为.因点M上此切线上.故.又.所以.整理得:.解得.或. 综上所述.当点M是对称中心即时.过点M作曲线的切线切点是惟一的.且为M.故只有一条切线,当点M不是对称中心即时.过点M作曲线的切线可产生两个不同的切点.故必有两条切线.其中一条就是以M为切点的切线. 由此可见,不仅切线与曲线的公共点可以多于一个,而且过曲线上点的切线也不一定惟一.高中数学教材(不包括人民教育出版社中学数学室编著的数学第三册)只要求“某点处的切线 而没有提到“过某点的切线 .因此.也就不会涉及三次函数对称中心的这一性质. 深刻挖掘三次函数的性质.为高考有关问题找到了有效的解决方法.更为进一步探索高次函数的性质提供了方法依据. 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    （2012•自贡三模）对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义f′（x）是y=f（x）的导函数y=f′（x）的导函数，若方程f′（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”，可以发现，任何三次函数都有“拐点”，任何三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，请你根据这一发现判断下列命题：
    ①任意三次函数都关于点（-
    b
    3a
    ，f（-
    b
    3a
    ））对称：
    ②存在三次函数f′（x）=0有实数解x0，点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的对称中心；
    ③存在三次函数有两个及两个以上的对称中心；
    ④若函数g（x）=
    1
    3
    x3-
    1
    2
    x2-
    5
    12
    ，则，g（
    1
    2012
    ）+g（
    2
    2012
    ）+g（
    3
    2012
    ）+…+g（
    2011
    2012
    ）=-105.5．
    其中正确命题的序号为
    ①②④
    ①②④
    （把所有正确命题的序号都填上）．

    查看答案和解析>>

    对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义f″（x）是y=f（x）的导函数y=f′（x）的导函数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．有的同学发现“任何三次函数都有‘拐点’；任何三次函数都有对称中心；且对称中心就是‘拐点’”．请你根据这一发现判断下列命题：
    （1）任意三次函数都关于点(-
    b
    3a
    ，f(-
    b
    3a
    ))    对称； 
    （2）存在三次函数，f'（x）=0有实数解x0，（x0，f（x0））点为函数y=f（x）的对称中心； 
    （3）存在三次函数有两个及两个以上的对称中心； 
    （4）若函数g(x)=
    1
    3
    x3-
    1
    2
    x2-
    5
    12
    ，则g(
    1
    2013
    )+g(
    2
    2013
    )+g(
    3
    2013
    )+…+g(
    2012
    2013
    )=-1006
    其中正确命题的序号为（　　）

    查看答案和解析>>

    有下列命题：
    ①是函数的极值点；
    ②三次函数有极值点的充要条件是；
    ③奇函数在区间上是递增的；
    ④曲线在处的切线方程为.
    其中真命题的序号是                .

    查看答案和解析>>

    对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义f′（x）是y=f（x）的导函数y=f′（x）的导函数，若方程f′（x）=0有实数解x，则称点（x，f（x））为函数y=f（x）的“拐点”，可以发现，任何三次函数都有“拐点”，任何三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，请你根据这一发现判断下列命题：
    ①任意三次函数都关于点（-，f（-））对称：
    ②存在三次函数f′（x）=0有实数解x，点（x，f（x））为麵y=f（x）的对称中心；
    ③存在三次函数有两个及两个以上的对称中心；
    ④若函数g（x）=x3-x2-，则，g（）+g（）+g（）+…+g（）=-105.5．
    其中正确命题的序号为    （把所有正确命题的序号都填上）．

    查看答案和解析>>

    对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义f′（x）是y=f（x）的导函数y=f′（x）的导函数，若方程f′（x）=0有实数解x，则称点（x，f（x））为函数y=f（x）的“拐点”，可以发现，任何三次函数都有“拐点”，任何三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，请你根据这一发现判断下列命题：
    ①任意三次函数都关于点（-，f（-））对称：
    ②存在三次函数f′（x）=0有实数解x，点（x，f（x））为麵y=f（x）的对称中心；
    ③存在三次函数有两个及两个以上的对称中心；
    ④若函数g（x）=x3-x2-，则，g（）+g（）+g（）+…+g（）=-105.5．
    其中正确命题的序号为    （把所有正确命题的序号都填上）．

    查看答案和解析>>


    同步练习册答案