已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)经过点(2，

3

)，且离心率为

3

2

．椭圆上还有两点P、Q，O为坐标原点，连接OP、OQ，其斜率的积为-

1

4

．
（1）求椭圆方程；
（2）求证：|OP|²+|OQ|²为定值，并求出此定值；
（3）求PQ中点的轨迹方程．

已知抛物线C₁：y²=2px（p＞0）的焦点F以及椭圆C₂：

y2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞b＞0)的上、下焦点及左、右顶点均在圆O：x²+y²=1上．
（Ⅰ）求抛物线C₁和椭圆C₂的标准方程；
（Ⅱ）过点F的直线交抛物线C₁于A、B两不同点，交y轴于点N，已知

NA

=λ1

AF

， 

NB

 =λ2

BF

，求证：λ₁+λ₂为定值．
（Ⅲ）直线l交椭圆C₂于P、Q两不同点，P、Q在x轴的射影分别为P'、Q'，

OP

•

OQ

+

OP′

•

OQ′

 +1=0，若点S满足：

OS

= 

OP

 +

OQ

，证明：点S在椭圆C₂上．

已知点P（x，y），Q（1，0），且实数x，y满足不等式组

x+2y-7≤0 x-2y+1≤0 x≥1

，点O为坐标原点，则

OP • OQ

| OP |•| OQ |

的最小值是（　　）

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的离心率为e，右顶点为A，左、右焦点分别为F₁、F₂，点E为右准线上的动点，∠AEF₂的最大值为θ．
（1）若双曲线的左焦点为F₁（-4，0），一条渐近线的方程为3x-2y=0，求双曲线的方程；
（2）求sinθ（用e表示）；
（3）如图，如果直线l与双曲线的交点为P、Q，与两条渐近线的交点为P'、Q'，O为坐标原点，求证：

OP

+

OQ

=

OP′

+

OQ′

．

（几何证明选做题）如图，∠PAQ是直角，半径为5的圆O与AP相切于点T，与AQ相交于两点B、C，BT是否平分∠OBA？证明你的结论；
证明：连接OT，
（1）∵AT是切线，
（2）∴OT⊥AP．
（3）又∵∠PAB是直角，即AQ⊥AP，
（4）∴AB∥OT，
（5）
（6）又∵OT=OB，
（7）∴∠OTB=∠OBT．
（8）∴∠OBT=∠TBA，即BT平分∠OBA．
以上证明的8个步骤中的（5）是．