已知正数数列{a_n}中，a₁=1，当n∈N^*，n≥2时满足，求
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）记数列的前n项和为A_n，证明；
（3）（c为非零常数），若数列{b_n}是等差数列，其前n项和为S_n，求数列{（-1）ⁿS_n}的前m项和T_m．

已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n+

1

an

=2S_n，n∈N^*．
（Ⅰ）求证：数列{S_n²}是等差数列；
（Ⅱ）求解关于n的不等式a_n+1（S_n-1+S_n）＞4n-8；
（Ⅲ）记数列bn=2S_n³，T_n=

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

，证明：1-

1

n+1

＜T_n＜

3

2

-

1

n

．

已知正项数列{a_n}满足：a₁=3，（2n-1）a_n+2=（2n+1）a_n-1+8n²（n＞1，n∈N^*）．
（1）求证：数列{

an

2n+1

}是等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项a_n；
（3）求

lim

n→∞

(

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

)的值．

已知正项数列{a_n}，{b_n}满足：对任意正整数n，都有a_n，b_n，a_n+1成等差数列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比数列，且a₁=10，a₂=15．
（Ⅰ）求证：数列{

b

n}是等差数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅲ） 设Sn=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

，如果对任意正整数n，不等式2aSn＜2-

bn

an

恒成立，求实数a的取值范围．