已知曲线C:(m∈R)

（1）   若曲线C是焦点在x轴点上的椭圆，求m的取值范围；

（2）     设m=4，曲线c与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线y=kx+4与曲线c交于不同的两点M、N,直线y=1与直线BM交于点G.求证：A，G，N三点共线。

【解析】（1）曲线C是焦点在x轴上的椭圆，当且仅当解得，所以m的取值范围是

(2)当m=4时，曲线C的方程为，点A,B的坐标分别为，

由，得

因为直线与曲线C交于不同的两点，所以

即

设点M，N的坐标分别为，则

直线BM的方程为，点G的坐标为

因为直线AN和直线AG的斜率分别为

所以

即,故A，G，N三点共线。

 

在中，满足,是边上的一点.

（Ⅰ）若,求向量与向量夹角的正弦值；

（Ⅱ）若，=m  (m为正常数) 且是边上的三等分点.，求值；

（Ⅲ）若且求的最小值。

【解析】第一问中，利用向量的数量积设向量与向量的夹角为，则

令=，得，又，则为所求

第二问因为，=m所以，

（1）当时，则= 

（2）当时，则=

第三问中，解：设,因为，；

所以即于是得

从而

运用三角函数求解。

（Ⅰ）解：设向量与向量的夹角为，则

令=，得，又，则为所求……………2分

(Ⅱ)解：因为，=m所以，

（1）当时，则=；-2分

（2）当时，则=；--2分

（Ⅲ）解：设,因为，；

所以即于是得

从而---2分

==

=…………………………………2分

令，则，则函数，在递减，在上递增，所以从而当时，

 

在四棱锥中，平面，底面为矩形，.

（Ⅰ）当时，求证：；

（Ⅱ）若边上有且只有一个点，使得，求此时二面角的余弦值.

【解析】第一位女利用线面垂直的判定定理和性质定理得到。当a=1时，底面ABCD为正方形，

又因为,………………2分

又，得证。

第二问，建立空间直角坐标系，则B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)……4分

设BQ=m，则Q(1，m,0)(0《m《a》

要使，只要

所以，即………6分

由此可知时，存在点Q使得

当且仅当m=a-m，即m=a/2时，BC边上有且只有一个点Q，使得

由此知道a=2,  设平面POQ的法向量为

,所以    平面PAD的法向量

则的大小与二面角A-PD-Q的大小相等所以

因此二面角A-PD-Q的余弦值为

解：(Ⅰ)当时，底面ABCD为正方形，

又因为,又………………3分

(Ⅱ) 因为AB,AD,AP两两垂直，分别以它们所在直线为X轴、Y轴、Z轴建立坐标系，如图所示，

则B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)…………4分

设BQ=m，则Q(1，m,0)(0《m《a》要使，只要

所以，即………6分

由此可知时，存在点Q使得

当且仅当m=a-m，即m=a/2时，BC边上有且只有一个点Q，使得由此知道a=2,

设平面POQ的法向量为

,所以    平面PAD的法向量

则的大小与二面角A-PD-Q的大小相等所以

因此二面角A-PD-Q的余弦值为

 

已知集合

A=, B=.

（1）若，求A∩B，；

（2）若A,求实数m的取值范围。

【解析】第一问首先翻译A,B为最简集合，即为

A=

B=

然后利用当m=-1时，则有 B=

 , 

第二问，因为A，

所以满足A

得到结论。

解：因为A=

,

B=

当m=-1时，则有 B=

 , 

(2) 因为A，

所以满足A

故

 

已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为，且经过点.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）是否存过点（2,1）的直线与椭圆相交于不同的两点，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

【解析】第一问利用设椭圆的方程为，由题意得

解得

第二问若存在直线满足条件的方程为，代入椭圆的方程得

．

因为直线与椭圆相交于不同的两点，设两点的坐标分别为，

所以

所以．解得。

解：⑴设椭圆的方程为，由题意得

解得，故椭圆的方程为．……………………4分

⑵若存在直线满足条件的方程为，代入椭圆的方程得

．

因为直线与椭圆相交于不同的两点，设两点的坐标分别为，

所以

所以．

又，

因为，即，

所以．

即．

所以，解得．

因为A,B为不同的两点，所以k=1/2．

于是存在直线L₁满足条件，其方程为y=1/2x