（本题满分16分）已知函数为实常数）．

（I）当时，求函数在上的最小值；

（Ⅱ）若方程在区间上有解，求实数的取值范围；

（Ⅲ）证明：

（参考数据：）

（本题满分16分）

已知函数

（I）当a=2时，求函数的最大值和最小值；

（II）若函数，求函数的单调递减区间；

（III）当a=1时，求证：

（本题满分16分）

如图为河岸一段的示意图，一游泳者站在河岸的A点处，欲前往河对岸的C点处。若河宽BC为100m，A、B相距100m，他希望尽快到达C，准备从A步行到E（E为河岸AB上的点），再从E游到C。已知此人步行速度为v，游泳速度为0.5v。

（I）设，试将此人按上述路线从A到C所需时间T表示为的函数；并求自变量 取值范围；

II）当为何值时，此人从A经E游到C所需时间T最小，其最小值是多少？

（本题满分16分）已知函数为实常数）．
（I）当时，求函数在上的最小值；
（Ⅱ）若方程在区间上有解，求实数的取值范围；
（Ⅲ）证明：
（参考数据：）