已知函数f(x)=

a•3x+a-2

3x+1

．（a∈R）
（1）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数？证明你的结论；
（2）用单调性定义证明：不论a取任何实数，函数f（x）在其定义域上都是增函数；
（3）若函数f（x）为奇函数，解不等式f（3m²-m+1）+f（2m-3）＜0．

已知函数f(x)=lnx-

a(x-1)

x+1

，a∈R．
（Ⅰ）若x=2是函数f（x）的极值点，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，求a的取值范围；
（Ⅲ）设m，n为正实数，且m＞n，求证：

m-n

lnm-lnn

＜

m+n

2

．

已知函数f（x）=

mx3

3

+ax²+（1-b²）x，m，a，b∈R．
（1）当m=1时，若函数f（x）是R上的增函数，求a²+b²+2a+4b的最大值；
（2）当a=1，b=

2

时，函数f（x）在（2，+∞）上存在单调递增区间，求实数m的取值范围．

已知定义在R上的函数f(x)=

2x+1 ，x≥0 mx+m-1 ，x＜0

，若f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，则实数m的取值范围是．