已知函数f（x）=

-x3+x2+bx+c，x＜1 alnx，x≥1

的图象过坐标原点O，且在点（-1，f（-1））处的切线的斜率是-5．
（I）求实数b、c的值；
（Ⅱ）求f（x）在区间[-1，2]上的最大值；
（Ⅲ）对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上是否存在两点P、Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴．若存在请证明，若不存在说明理由．

已知函数f（x）=

4x-a

1+x2

在区间[m，n]上为增函数，
（I）若m=0，n=1时，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若f（m）f（n）=-4．则当f（n）-f（m）取最小值时，
（i）求实数a的值；
（ii）若P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）（a＜x₁＜x₂＜n）是f（x）图象上的两点，且存在实数x₀∈（a，n）使得f′（x₀）=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

，证明：x₁＜x₀＜x₂．

已知函数f(x)=x3+ax2+

3

2

x+

3

2

a（a为实数）
（I）若函数f（x）的图象上有与x轴平行的切线，求a的取值范围；
（II）若f（x）在x=-1时有极值，证明对任意的x₁，x₂∈（-1，0），不等式|f(x1)-f(x2)|＜

5

16

恒成立．

已知函数f（x）=x²（x-a），其中a∈R．g（x）=f（x）+f'（x）．
（I）当函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线斜率为2时，求此直线在y轴上的截距；
（II）求证：g（x）既有极大值又有极小值；
（III）若g（x）取极大值和极小值对应的x值分别在区间（-2，-1）和（3，4）内，求实数a的取值范围．