①方程f(x)-x=0有实数根；②函数f(x)的导函数f′(x)满足0＜f′(x)＜1.

（1）判断函数f(x)=x+sinx是否是集合M中的元素，并说明理由；

（2）集合M中的元素f(x)具有下列性质：

若f(x)的定义域为I，则对于任意［m,n］I都存在x₀∈［m,n］,使得等式f(n)-f(m)=(n-m)f′(x₀)成立.

    请利用这一性质证明：方程f(x)-x=0有唯一的实数根；

（3）若存在实数x₁,使得m中元素f(x)定义域中的任意实数a、b都有|a-x₁|＜1和|b-x₁|＜1成立.证明：|f(b)-f(a)|＜2

①方程f(x)-x=0有实数根；②函数f(x)的导函数f′(x)满足0＜f′(x)＜1.

(1)判断函数f(x)=x+sinx是否是集合M中的元素，并说明理由；

(2)集合M中的元素f(x)具有下列性质：

    若f(x)的定义域为I,则对于任意［m,n］I都存在x₀∈［m,n］，使得等式f(n)-f(m)=(n-m)f′(x₀)成立.

请利用这一性质证明：方程f(x)-x=0有唯一的实数根；

(3)若存在实数x₁,使得M中元素f(x)定义域中的任意实数a、b都有|a-x₁|＜1和|b-x₁|＜1成立，证明：|f(b)-f(a)|＜2.