设直线相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点F。

   （1）证明：；

   （2）若F是椭圆的一个焦点，且以AB为直径的圆过原点，求a²。

设直线相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点F。

   （1）证明：；

   （2）若F是椭圆的一个焦点，且以AB为直径的圆过原点，求a²。

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁与F₂，直线y=x-1过椭圆的一个焦点F₂且与椭圆交于P、Q两点，若△F₁PQ的周长为4

2

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C经过伸缩变换

x′= 2 2 x y′=y

变成曲线C'，直线l：y=kx+m与曲线C'相切且与椭圆C交于不同的两点A、B，若

OA

•

OB

=λ，且

2

3

≤λ≤

3

4

，求△OAB面积的取值范围．（O为坐标原点）

设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），以F₂为圆心，b-c为半径作圆F₂，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，已知|PT|的最小值不小于

3

2

（a-c）．
（Ⅰ）求椭圆的离心率e的取值范围；
（Ⅱ）设O为原点，椭圆的短半轴长为1，圆F₂与x轴的右交点为Q，过点Q作斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆相交于A、B两点，若OA⊥OB，求直线l被圆F₂截得的弦长S的最大值．