在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（0，2）关于原点O对称，P是动点，AP⊥BP。
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=x+m与曲线C交于M、N两点，
ⅰ）若，求实数m取值；
ⅱ）若点A在以线段MN为直径的圆内，求实数m的取值范围。

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知，A（8，0），B（n，t），C（ksinθ，t），其中。
（1）若，且，求向量；
（2）若向量，当k为大于4的某个常数时，tsinθ取最大值4，求此时与夹角的正切值。

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A（1，0），B（0，-2），点C满足，其中m，n∈R且m-2n=1。
（1）求点C的轨迹方程；
（2）设点C的轨迹与双曲线（a＞0，b＞0且a≠b）交于M、N两点，且以MN为直径的圆过原点，求证：为定值；
（3）在（2）的条件下，若双曲线的离心率不大于，求双曲线实轴长的取值范围。