本题满分15分）已知函数，.
(Ⅰ)当时，求函数的极值点；
(Ⅱ)若函数在导函数的单调区间上也是单调的，求的取值范围；
(Ⅲ) 当时，设，且是函数的极值点，证明：.

（本题满分15分）已知函数  且导数.

  （Ⅰ）试用含有的式子表示，并求单调区间;  （II）对于函数图象上的不同两点，如果在函数图象上存在点（其中）使得点处的切线，则称存在“伴侣切线”.特别地，当时，又称存在“中值伴侣切线”.试问：在函数上是否存在两点、使得它存在“中值伴侣切线”，若存在，求出、的坐标，若不存在，说明理由.

（本题满分15分）已知函数.

(I) 求函数在上的最大值.

(II)如果函数的图像与轴交于两点、，且.

是的导函数，若正常数满足.

求证：.

（本题满分15分）已知函数.

(I) 求函数在上的最大值.

(II)如果函数的图像与轴交于两点、，且.

是的导函数，若正常数满足.

求证：.