如图，在平面直角坐标系中，直线AC：y=

4

3

x+8与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax²+bx+c过点A、点C，且与x轴的另一交点为B（x₀，0），其中x₀＞0，又点P是抛物线的对称轴l上一动点．
（1）求点A的坐标，并在图1中的l上找一点P₀，使P₀到点A与点C的距离之和最小；
（2）若△PAC周长的最小值为10+2

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，求抛物线的解析式及顶点N的坐标；
（3）如图2，在线段CO上有一动点M以每秒2个单位的速度从点C向点O移动（M不与端点C、O重合），过点M作MH∥CB交x轴于点H，设M移动的时间为t秒，试把△P₀HM的面积S表示成时间t的函数，当t为何值时，S有最大值，并求出最大值；
（4）在（3）的条件下，当S=

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时，过M作x轴的平行线交抛物线于E、F两点，问：过E、F、C三点的圆与直线CN能否相切于点C？请证明你的结论．（备用图图3）

如图1，在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，BC=8，AD=20，AB=DC=10，点P从A点出发沿AD边向点D移动，点Q自A点出发沿A→B→C的路线移动，且PQ∥DC，若AP=x，梯形位于线段PQ右侧部分的面积为S．
（1）分别求出点Q位于AB、BC上时，S与x之间函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当线段PQ将梯形ABCD分成面积相等的两部分时，x的值是多少？
（3）在（2）的条件下，设线段PQ与梯形ABCD的中位线EF交于O点，那么OE与OF的长度有什么关系？借助备用图2说明理由；并进一步探究：对任何一个梯形，当一直线l经过梯形中位线的中点并满足什么条件时，其一定平分梯形的面积？（只要求说出条件，不需证明）