已知：在△ABC中，AB＝AC＝a，M为底边BC上任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q．

(1)求四边形AQMP的周长；

(2)写出图中的两对相似三角形(不需证明)；

(3)M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形？说明你的理由．

三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的线段与两

边对应成比例。

已知：如图，在△ABC中，AD是角平分线。

求证：＝。

分析：要证＝，一般只要证BD、DC与AB、AC

或BD、AB与DC、AC所在的三角形相似即可，现在点B、D、C

在一条直线上，△ABD与△ADC不相似，需要考虑用别的方法换比。在比例式

＝中，AC恰是BD、DC、AB的第四比例项，所以考虑过点C作CE//AD，交

BA的延长线于点E，从而得到BD、DC、AB的第四比例项AE，这样，证明＝

就可以转化成证AE＝AC。

证明：过点C作CE//DA交BA的延长线于点E。

。

（1）在上述证明过程中，用到了哪些定理？（写对两个定理即可）

（2）在上述分析、证明过程中，主要利用到了下列三种数学思想中的哪一种？选出一

个填在后面的括号内………………………………………………………………（  ）

A. 数形结合思想　　　　　　 B. 转化思想　　　　    C. 分类讨论思想

（3）用三角形内角平分线性质定理解答问题。

如下图，已知在△ABC中，AD是角平分线，AB＝5cm，AC＝4cm，

BC＝7cm，求BD的长。

（12分）如图1，在四边形ABCD的AB边上任取一点E（点E不与点A、点B

重合），分别连接ED、EC，可以把四边形ABCD分成3个三角形．如果其中有2个三角形

相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的AB边上的相似点；如果这3个三角形都相似，

我们就把点E叫做四边形ABCD的AB边上的强相似点．

（1）若图1中，∠A＝∠B＝∠DEC＝50°，说明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点；

（2）①如图2，画出矩形ABCD的AB边上的一个强相似点．（要求：画图工具不限，不写画法，保留画图痕迹或有必要的说明．）

②对于任意的一个矩形，是否一定存在强相似点？如果一定存在，请说明理由；如果不一定存在，请举出反例．

（3）在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠B＝90°，点E是梯形ABCD的AB边上的一个强相似点，判断AE与BE的数量关系并说明理由．