已知二次函数y=ax²+bx+c．
①若b=2a+

1

2

c，那么函数图象一定经过哪个定点？
②若a＜0且c=0，且对于任意的实数x，都有y≤1，求证：4a+b²≤0．
③若函数图象上两点（0，y₁）和（1，y₂）满足y₁•y₂＞0，且2a+3b+6c=0，试确定二次函数图象对称轴与x轴交点横坐标的取值范围．

我们给出如下定义：如图①，平面内两条直线l₁、l₂相交于点O，对于平面内的任意一点M，若p、q分别是点M到直线l₁和l₂的距离（P≥0，q≥0），称有序非负实数对[p，q]是点M的距离坐标．
根据上述定义，请解答下列问题：
如图②，平面直角坐标系xoy内，直线l₁的关系式为y=x，直线l₂的关系式为y=

1

2

x，M是平面直角坐标系内的点．
（1）若p=q=0，求距离坐标为[0，0]时，点M的坐标；
（2）若q=0，且p+q=m（m＞0），利用图②，在第一象限内，求距离坐标为[p，q]时，点M的坐标；
（3）若p=1，q=

1

2

，则坐标平面内距离坐标为[p，q]时，点M可以有几个位置？并用三角尺在图③画出符合条件的点M（简要说明画法）．

已知一次函数y₁=2x，二次函数y₂=mx²-3（m-1）x+2m-1的图象关于y轴对称，y₂的顶点为A．
（1）求二次函数y₂的解析式；
（2）将y₂左右平移得到y₃交y₂于P点，过P点作直线l∥x轴交y₃于点M，若△PAM为等腰三角形，求P点坐标；
（3）是否存在二次函数y₄=ax²+bx+c，其图象经过点（-5，2），且对于任意一个实数x，这三个函数所对应的函数值y₁、y₂、y₄都有y₁≤y₄≤y₂成立？若存在，求出函数y₄的解析式；若不存在，请说明理由．