（2012•路南区一模）如图①，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=120°，点P是线段AC上的动点（点P与点A、点C不重合），连接BP．将△ABP绕点P按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜180°），得到△A₁B₁P，连接AA₁，直线AA₁分别交直线PB、直线BB₁于点E，F．
（1）如图①，当0°＜α＜60°时，在α角变化过程中，△APA₁与△BPB₁始终存在关系（填“相似”或“全等”），同时可得∠A₁AP∠B₁BP（填“=”或“＜”“＞”关系）．请说明△BEF与△AEP之间具有相似关系；
（2）如图②，设∠ABP=β，当120°＜α＜180°时，在α角变化过程中，是否存在△BEF与△AEP全等？若存在，求出α与β之间的数量关系；若不存在，请说明理由；
（3）如图③，当α=120°时，点E、F与点B重合．已知AB=4，设AP=x，S=△A₁BB₁面积，求S关于x的函数关系式

已知△ABC 是等边三角形.  
（1 ）将△ABC 绕点A 逆时针旋转角（0 °＜＜180 °），得到△ADE ，BD 和EC 所在直线相交于点O.       
 ①如图   ，当   =20 °时，△ABD 与△ACE 是否全等？（    ）（填“是”或“否”），∠BOE=（    ）度；
②当△ABC旋转到如图  所在位置时，求∠BOE的度数；  
（2）如图  ，在AB和AC上分别截取点B′和C′，使AB=   AB′,AC=   AC′,连接B′C′，将△AB′C′绕点A逆时针旋转角  （0°＜   ＜180°），得到△ADE
（3）BD和EC所在直线相交于点O，请利用图  探索∠BOE的度数，直接写出结果，不必说明理由.

26、已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），易证BM+DN=MN．
（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；
（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．

30、如图，小明将两块完全相同的直角三角形纸片的直角顶点C叠放在一起，若保持△BCD不动，将△ACE绕直角顶点C旋转．
（1）如图1，如果CD平分∠ACE，那么CE是否平分∠BCD？答：（填写“是”或“否”）；
（2）如图1，若∠DCE=35°，则∠ACB=°；若∠ACB=140°，则∠DCE=°；
（3）当△ACE绕直角顶点C旋转到如图1的位置时，猜想∠ACB与∠DCE的数量关系为；当△ACE绕直角顶点C旋转到如图2的位置时，上述关系是否依然成立，请说明理由；
（4）在图1中，若∠BCE=∠D，请你猜想CE与BD的位置关系，并说明理由．

已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N．
（1）当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），求证：BM+DN=MN；
（2）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），则线段BM，DN和MN之间数量关系是；
（3）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，猜想线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系呢？并对你的猜想加以说明．