如图，以正方形ABCD的边CD为直径作⊙O，以顶点C为圆心、边CB为半径作

BD

，E为BC的延长线上一点，且CD、CE的长恰为方程x²-2（

3

+1）x+4

3

=0的两根，其中CD＜CE．连接DE交⊙O于点F．
（1）求DF的长；
（2）求图中阴影部分的面积S．

如图，半圆O为△ABC的外接圆，AC为直径，D为劣弧BC上一动点，P在CB延长线上，且满足∠BAP=∠BDA，
（1）求证：AP为⊙O切线；
（2）若四边形ABDO为菱形，求证：BD²=BE•BC．

如图，已知AB是⊙O的直径，且AB为6，过B点作⊙O的切线CB与⊙O相切于点B，在半圆AB上有一点D使∠ABD=30°，BD的中点为E，连接OE并延长OE与BC交于点C，连接CD．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）四边形ABCD的周长是多少？

如图1，AB为⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE=CB．
（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）连接AE，AE的延长线与BC的延长线交于点G（如图2所示），若AB=2

5

，AD=2，求线段BC和EG的长．

如图，以Rt△BCF的斜边BC为直径作⊙O，A为

BF

上一点，且

AB

=

AF

，AD⊥BC，垂足为D，过A作AE∥BF交CB的延长线于E．
求证：
（1）AE是⊙O切线；
（2）

BD

CD

=

BE

EC

；
（3）若⊙O直径为d，则

1

CD

+

1

EC

=

2

d

．