如图一，在△ABC中，分别以AB，AC为直径在△ABC外作半圆O₁和半圆O₂，其中O₁和O₂分别为两个半圆的圆心．F是边BC的中点，点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点．
（1）连接O₁F，O₁D，DF，O₂F，O₂E，EF，证明：△DO₁F≌△FO₂E；
（2）如图二，过点A分别作半圆O₁和半圆O₂的切线，交BD的延长线和CE的延长线于点P和点Q，连接PQ，若∠ACB=90°，DB=5，CE=3，求线段PQ的长；
（3）如图三，过点A作半圆O₂的切线，交CE的延长线于点Q，过点Q作直线FA的垂线，交BD的延长线于点P，连接PA．证明：PA是半圆O₁的切线．

如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE（不需证明）．
（温馨提示：在图1中，连接BD，取BD的中点H，连接HE、HF，根据三角形中位线定理，证明HE=HF，从而∠1=∠2，再利用平行线性质，可证得∠BME=∠CNE．）
问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，请直接写出结论；
问题二：如图3，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC=60°，连接GD，判断△AGD的形状并证明．