待定系数法求一次函数的解析式: 若已知一次函数的图像经过两个已在点A(x1.y1)和B(x2.y2)求这个一次函数的解析式.其方法和步骤是: (1)设一次函数的解析式:y=kx+b (2)将A.——青夏教育精英家教网—

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试题

待定系数法求一次函数的解析式: 若已知一次函数的图像经过两个已在点A(x1.y1)和B(x2.y2)求这个一次函数的解析式.其方法和步骤是: (1)设一次函数的解析式:y=kx+b (2)将A.B两点的坐标代入所设函数的解析式.得两个方程:y1=k1x1+b①y2=k2x2+b2② (3)联立①②解方程组.从而求出k.b值. 这一先设系数k.b.从而通过解方程求系数的方法以称为待定系数法. [重点难点解析] 例1 已知一次函数y=m为何值时.y随x的增大而减小,(2)n为何值时.函数的图像与y轴的交点x轴下方,(3)m.n为何值时.函数图像与y=x+2的图像平行. 解:(1)当m+3＜0,即m＜-3时.y随x的增大而减小, (2)当4-n＜0,即n＞4时.函数的图像与y轴的交点在x下方, (3)当m+3=1且4-n≠2时.即m=-2, n≠2时.函数的图像是一条与y=x+2平行的直线. 例2 当a.b＞0.ac＜0.直线ax+by+c=0不通过哪个象限. 解:∵b≠0 ∴由原函数式变形得: y=-x- ∴ab＞0 ∴-＜0 又∵ac＜0,∴-＞0 直线ax+by+c=0不通过第三象限. 例3 直线l1:y1=k1x+b1 与y=2x平行且通过A(3.4).直线l2:y2=k2x+b2通过B.求l1和l2的解析式. 解:∵y1=k1x+b1与y=2x平行且通过A(3.4) ∴解这个方程组得: ∴l1的解析式为:y=2x-2 ∵y2=k2x+b2通过B两点.将两点的坐标代入解析式得: ∴l2的解析式为:y=-x+4 例4 已知一个正比例函数和一个一次函数.它们的图像都经过P.且一次函数在y轴上的截距为3.(1)求这两个函数的解析式,(2)在同一坐标系中.分别画出两个函数的图像,(3)求这两个函数的图像与y轴围成的三角形的面积. 解:(1)设正比例函数和一次函数的解析式分别为y=k1x和 y=k2x+b.由y=k1x过点得1=-2k1 ∴k1=- 由y=k2x+b过点.截距为3 得:b=3 -2k2+b=1 解得:k2=1 b=3 两点画一条直线.即得函数y=-x的图像.经过A画一条直线即得y=x+3的直线.如图13-21 (3)直线y=x+3与y轴交于点A(0.3)过P作PH⊥y轴.则OA=3.PH=|-2|=2.而函数与y轴所围成的三角形面积即是△APO的面积. S△APO=·AO·PH =×3×2=3 例5 已知y-成正比例.且 x=6时.y=1,x=-4时. y=-4.(1)求y与x之间的函数关系式,(2)在直角坐标系中.画出这个函数的图像,(3)求出这个函数的图像与坐标轴的两个交点之间的距离. 解:∵y-(m-3)与x成正比例 ∴可设y-(m-3)=kx,即y=kx+m-3① 故所求函数关系式为:y=x-2 和B画直线即是函数y=x-2的图像.如图13-22 (3)当x=0时:y=×0-2=-2 当y=0时.0=x-2 x=4 ∴C |CD|= 综上所述5例可见.本节重点为:①根据直线所通过的点的条件求直线方程,②根据直线方程求作直线的图像,③根据增减性.截距求直线方程,④根据两直线的位置关系求直线方程,本节的难点是求直线围成的图形的面积.解决重难点的方法是运用待定系数法和数形结合的方法. [难题巧解点拨] 例6 已知函数y=|x-a|+|x+19|+|x-a-96|.其中a为常数.且满足19＜a＜96,当自变量x的取值范围为a≤x≤96时.求y的最大值. 解:∵19＜a＜96,a≤x≤96 ∴x-a≥0,x+19＞10,x-a-96＜0则y=x-a+x+19+a+96-x=115+x 函数y=15+x是一次函数.其增减性表明y随x的增大而增大. ∴在a≤x≤96的x取值范围内.当x=96时.y取最大值.即: ymax=96+115=211 说明:含绝对值的函数首先要讨论绝对值的式子的正负性质.再根据绝对值定义化简.从而得到一次函数,讨论在某一自变量的取值范围内最大值或最小值要根据一次函数的性质和自变量x范围的两端点取值来求. 例7 如图13-23在平面直角坐标系中.点O′的坐标为(0.3).⊙O′与y轴交于原点O和点A.又B.C.E三点的坐标分别为.且0＜x＜4.当点E在线段OC上移动时.直线BE与⊙O′有哪几种位置关系?(3)求出直线BE与⊙O′每种位置关系时.x的取值范围. 分析:直线与圆有三种位置关系.从直线与圆相切这种特殊情形.用运动变化的观点寻求结论成立的条件是解本题的关键. 解: ∴⊙′的半径为: OO′=3.∴OA=2·OO′=2×3=6.∴A(0.6) (2)∵点B在⊙O′外.BE与⊙O′有三种位置关系:相离.相切.相交, (3)当直线BE与⊙O′相切于D点时.连结O′D.则△O′BD是Rt△. O′D=3, O′B=5,BD=4,OB=2,OE=x ∵△O′BD∽△EBO ∴ 即.解得:x= 故当＜x＜4时.直线BE与⊙O′相离,当x=时.直线BE与⊙O′相切. 当0＜x＜时.直线BE与⊙O′相交. 例8 如图13-24.某航空公司托运行李的费用与托运行李重量的关系为一直线.由图中可知行李的重量不超过多少公斤.就可以免费托运? 解:设直线方程为:y=kx+b 由图可知:x=20时.y=330,x=40时.y=630;把x,y的对应取值代入直线方程.得: 解这个方程组.得:k=30,b=-570 ∴直线方程为:y=30x-570 若y=0时.30x-570=0, ∴x=19 答:只要行李重量不超过19公斤时.就可免费托运. [命题趋势分析] 由于一次函数是最基本的函数内容.是初中重点之一.在实际中应用十分广泛.因此是中考热点考题.有关一次函数考试主要是概念.图像.性质三个基本内容和待定系数法.数形结合法两种数学方法. [典型热点考题] 例9 填空题:已知直线l:y=-3x+2.现在4个命题:①点P在直线l上,②若直线l与x轴.y轴分别交于A.B两点.则AB=,③若点M(.1).N(a.b)都在直线l上.且a＞,则b＞1;④若点Q到两坐标轴的距离相等.且点Q在l上.则点Q在第一或第四象限. 其中正确的命题是 .(注意:在横线上填上你认为正确的命题序号) 分析:检验①:只需将x=1,y=-1代入函数式看是否适合.当x=1时.y=-3+2=-1,即P在直线y=-3x+2上.①命题正确,检验②,当y=0时.求得x=,即A(.0).当x=0时.y=2.即B(0.2).∴AB=.命题②正确,检验③.若M(.1).N(a,b)都在y=-3x+2上.根据直线的性质.k=-3＜0,y随x的增加而减小.∴a＞时.应该有b＜0,因此b＞1错误.即命题③错误,检验④.∵Q到两坐标轴的距离相等.设Q(m.n).则|m|=|n|,且n=-3m+2,由此解得:或因此Q点在第一或第四象限.命题④正确. 因此.选①.②.④填空. 例10 某居民小区按照分期付款的形式福利售房.政府给予一定的贴息.小明家购得一套现价为120000元的房子.购房时首期付款30000元.从第二年起.以后每年应付房款5000元与上一年剩余欠款利息的和.设剩余欠款年利率为0.4%.年小明家交付房款y元.求年付款y的函数关系式,(2)将第三年.第十年应付房款填入下列表格中: 年份第一年第二年第三年 -- 第十年交房款(元) 30000 5360 -- 分析:首期付款后共余120000-30000=90000元房款.以后每年付款应为5000.与上一年所欠余款×0.4%.即余款的利息之和. 解:(1)y=5000+[90000-5000(x-2)] ×0.4% =5400-20x (2)当x=3时.y=5340.当 x=10 时.y=5200. 因此第三年应付款5340元.第十年应付款5200元. 例11 已知直线x-2y=-k+6和x+3y=4y+1.若它们的交点在第四象限内.若k为非负整数.点A的坐标为(2.0).点P在直线x-2y=-k+6上.求使△PAO为等腰三角形的点P的坐标. 解:(1)依题意: 解这个方程组.得:x=k+4,y=k-1 ∵两直线的交点在第四象限 ∴k+4＞0,且k-1＜0 解不等式组得:-4＜k＜1 (2)∵k为非负整数.∴k=0 ∴直线x-2y=-k+6即为:y=-3 设P(a.b)为直线y=-3上一点.作PE⊥x轴.垂足为E.若使PO=PA.则应有OE=AE.即E(1.0) ∵a=1,∴b=-∴P1(1,- ) 若使PO=OA=2.则a2+b2=4,a2+(a-3)2=4,a2-3a+5=0, △=9-25＜0此方程无解. 若使PA=OA=2.则(2-a)2+b2=4,(2-a)2+(a-3)2=4, ∴a2-7a+9=0,a1=2,a2=,当a1=2时.b1=-2.当a2=时 ,b2=-. ∴P2或P3(.) 综合上所述.点P的坐标为(1.-)..(.-)如图13-25. [同步达纲练习](时间:45分钟.满分:100分) 【查看更多】

题目列表(包括答案和解析)

近年来，大学生就业日益困难．为了扶持大学生自主创业，某市政府提供了80万元无息贷款，用于某大学生开办公司生产并销售自主研发的一种电子产品，并约定用该公司经营的利润逐步偿还无息贷款．已知该产品的生产成本为每件40元，员工每人每月的工资为2500元，公司每月需支付其他费用15万元．该产品每月销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的函数关系如图所示．

(1)分别求出40＜x≤60；60＜x＜80时，月销售量y(万件)与销售

单价x(元)之间的函数关系；

(2)当销售单价定为50元时，为保证公司月利润达到5万元

(利润＝销售额—生产成本—员工工资—其它费用)，该公司

可安排员工多少人？

(3)若该公司有80名员工，则该公司最早可在几月后还清贷款？

【解析】（1）利用图象上点的坐标利用待定系数法代入y=kx+b，求出一次函数解析式即可；

(1) 根据利润＝销售额—生产成本—员工工资—其它费用列方程求出解

(3)分两种情况进行讨论：当时，当时得出结论

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