如图，已知，A为∠POQ的边OQ上的一点，OA=2，以A为顶点的∠MAN的两边分别交射线OP于M、N两点，且∠MAN=∠POQ=60°，当∠MAN以点A为旋转中心，AM边从与AO重合的位置开始，按逆时针方向旋转（∠MAN保持不变）时，M、N两点在射线OP上同时以不同的速度向右平行移动，设OM=x，ON=y（y＞x≥0）．
（1）求证：AN²=ON•MN；
（2）当∠MAN旋转30°（即∠OAM=30°）时，求点N移动的距离；
（3）求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围．

如图，已知A为∠POQ的边OQ上一点，以A为顶点的∠MAN的两边分别交OP于M、N两点，且∠MAN＝∠POQ＝α(α为锐角)．当∠MAN以点A为旋转点中心，AM边从与AO重合的位置开始，按逆时针方向旋转(∠MAN保持不变)时，M、N在射线OP上同时以不同的速度向右平行移动．设OM＝x，ON＝y(y＞x≥0)，△AOM面积为S，若cosα、OA是方程2z²－5z＋2＝0的两个根．

(1)当∠AMN旋转(即∠OAM＝)时，求点N移动的距离；

(2)求证：AN²＝ON·MN；

(3)求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；

(4)试写出S随x变化的函数关系式，并确定S的取值范围．